用相同的 100Ω 电阻构造 67Ω：最少需要多少个？

假设手里有任意多个阻值均为 $100\Omega$ 的理想电阻，只允许进行有限次串联和并联，能否精确得到 $67\Omega$？如果可以，最少需要多少个电阻？

答案是：可以，而且最少需要 11 个。

下面先从一个容易想到的 36 个电阻方案出发，再给出 11 个电阻的最优构造，最后证明 10 个或更少的电阻一定不够。

一个直观但不最优的方案

将 33 个 $100\Omega$ 电阻并联，得到

$$
R_1=\frac{100}{33}\Omega.
$$

把它与两个串联的 $100\Omega$ 电阻串联：

$$
R_2=200+\frac{100}{33}
=\frac{6700}{33}\Omega.
$$

最后将 $R_2$ 与另一个 $100\Omega$ 电阻并联：

$$
R_{\mathrm{eq}}
=100\parallel\frac{6700}{33}
=\frac{100\times\frac{6700}{33}}
{100+\frac{6700}{33}}
=67\Omega.
$$

其中 $x\parallel y$ 表示两个电阻并联，即

$$
x\parallel y=\frac{xy}{x+y}.
$$

这个方案总共使用 $33+2+1=36$ 个电阻。它验证了目标确实能够精确实现，但距离最少数量还有很大空间。

把问题无量纲化

以 $100\Omega$ 为一个单位，把每只电阻的阻值记为 $1$。目标阻值就变成

$$
r=\frac{67\Omega}{100\Omega}=\frac{67}{100}.
$$

接下来只需用若干个单位电阻构造 $67/100$；最后再乘回 $100\Omega$ 即可。

11 个电阻的构造

先构造模块 $A$：

$$
A=1\parallel(1+1)=\frac{2}{3}.
$$

$A$ 使用 3 个单位电阻。

再构造模块 $B$：

$$
B=1\parallel\left(1\parallel
\left[1+\left(1\parallel(1\parallel1)\right)\right]\right).
$$

从最内层逐步化简：

$$
1\parallel1=\frac12,
$$

$$
1\parallel\frac12=\frac13,
$$

$$
1+\frac13=\frac43,
$$

$$
1\parallel\frac43=\frac47,
$$

$$
1\parallel\frac47=\frac4{11}.
$$

因此 $B=4/11$，共使用 6 个单位电阻。

把一个单位电阻、模块 $A$ 和模块 $B$ 串联，得到

$$
C=1+A+B
=1+\frac23+\frac4{11}
=\frac{67}{33}.
$$

$C$ 共使用 $1+3+6=10$ 个电阻。最后再取一个单位电阻与 $C$ 并联：

$$
1\parallel C
=1\parallel\frac{67}{33}
=\frac{67/33}{1+67/33}
=\frac{67}{100}.
$$

恢复实际单位后，等效阻值正好是

$$
\frac{67}{100}\times100\Omega=67\Omega.
$$

整个结构共使用

$$
1+(1+3+6)=11
$$

个 $100\Omega$ 电阻。

若希望写成一个完整表达式，它是

$$
\boxed{
1\parallel
\left[
1+
\bigl(1\parallel(1+1)\bigr)+
\left(
1\parallel
\left(
1\parallel
\left[1+\left(1\parallel(1\parallel1)\right)\right]
\right)
\right)
\right]
=\frac{67}{100}
}.
$$

为什么 10 个一定不够

有了 11 个电阻的方案，还需要证明不存在更小的方案。

这里把“串并联网络”严格限定为：从单个电阻出发，每一步将两个已经构造好的网络串联或并联，经过有限次操作得到的二端网络。桥式网络等不能递归化简为纯串并联结构的电路不在讨论范围内。

串并联电阻网络的斐波那契上界

对于由 $n$ 个相同单位电阻构成的纯串并联网络，如果其等效阻值的最简分数为

$$
r=\frac{p}{q},\qquad \gcd(p,q)=1,
$$

则有

$$
p\le F_{n+1},\qquad q\le F_{n+1},
$$

其中 $F_1=F_2=1$，$F_{k+1}=F_k+F_{k-1}$。

这个结论可以从串并联网络的递归结构归纳得到，也可以从对应二端图的生成树数量来理解。单位电阻网络的等效电阻可写成

$$
r=\frac{\sigma_{st}(G)}{\tau(G)},
$$

其中 $\tau(G)$ 是图 $G$ 的生成树数量，$\sigma_{st}(G)$ 是把两个端点 $s,t$ 分开的生成二森林数量。串并联图的递归分解与生成树的删除—收缩关系最终给出斐波那契上界

$$
\tau(G)\le F_{n+1},
$$

并由此约束等效阻值最简分数的分子和分母。更完整的定理与证明可参见 Marx Stampfli 的论文 Bridged graphs, circuits and Fibonacci numbers。

应用于 $67/100$

斐波那契数列中

$$
F_{11}=89,\qquad F_{12}=144.
$$

如果只使用 10 个电阻，那么任何可得到阻值的最简分母都满足

$$
q\le F_{11}=89.
$$

但目标阻值

$$
\frac{67}{100}
$$

已经是最简分数，因为 $\gcd(67,100)=1$；它的分母是 $100$，大于 $89$。因此，10 个电阻无法实现目标。电阻数量更少时，上界只会更低，同样不可能。

另一方面，前文已经给出了一个使用 11 个电阻的明确构造。上下界吻合，所以

$$
\boxed{\text{精确得到 }67\Omega\text{ 最少需要 11 个 }100\Omega\text{ 电阻。}}
$$

实际电路中的注意事项

以上结论针对理想电阻和精确的串并联运算。真实电阻存在阻值误差和温度系数，11 个器件的误差还会在网络中共同影响结果，因此实物电路通常只能在给定容差内接近 $67\Omega$。如果目标只是工程上获得约 $67\Omega$，直接选用标准阻值或少量常见阻值组合，通常比搭建最少数量的同值电阻网络更实用。

参考资料