PDH 激光稳频详解：从边带干涉到闭环噪声

把激光照进一个高精细度光学腔，调到透射最亮，再让它一直保持在那里——这个想法很直观，却藏着两个困难：频率偏高与偏低，可能给出相同的透射光强；光强变化，又不一定来自频率变化。

Pound–Drever–Hall 稳频，通常简称 PDH 稳频，解决的正是“如何获得一个有方向、灵敏且适合反馈的频率误差信号”。它先给激光加上相位调制，再利用载波与边带在参考腔反射后发生的干涉，通过同步解调读出频率失谐的符号，最后反馈到激光器或外部频率执行器。

封面为内置生图工具制作的概念插画，不表示实验接线、尺寸或实测结果。图 1–5 由本文明确给出的模型和参数绘制，计算脚本在文末提供。

本文面向学过基础干涉和复数表示法、希望理解或搭建 PDH 系统的读者。第 1–6 节解释物理原理与推导，第 7–10 节连接器件、算例和闭环设计，第 11–14 节讨论噪声、调试与性能验证。读者不必先掌握完整的控制理论，但需要始终区分三个频率：光学载频、RF 调制频率、噪声或反馈的傅里叶频率。

1. PDH 锁定的究竟是什么？

1.1 参考腔把长度变成频率参考

先考虑真空中长度为 $L$ 的理想两镜 Fabry–Pérot 腔，暂时忽略镜面色散和横模的附加相位。纵模共振频率与自由光谱范围为

$$ \nu_q=\frac{qc}{2L},\qquad \nu_{\mathrm{FSR}}=\frac{c}{2L}. $$

对某个选定的基横模共振，记其频率为 $\nu_c$，激光频率为 $\nu_L$，定义失谐

$$ \Delta\nu=\nu_L-\nu_c. $$

PDH 鉴频器把这个失谐转换成电压。闭环再调节激光，使它在一定带宽内跟随参考腔。

这意味着，参考腔自己也必须足够稳定。 在简单真空腔模型中，固定纵模序号时有

$$ \frac{\delta\nu_c}{\nu_c}\simeq-\frac{\delta L}{L}. $$

腔长受温度、振动、压力、镜面形变或材料热噪声影响，锁定后的激光也会继承其中一部分变化。对有介质或明显色散的腔，应改用光学程及其频率导数，而不能把所有变化都归结为几何长度。

1.2 稳频、窄线宽和绝对准确度是不同指标

目标	关心的问题	常见评价方式
稳定锁定	能否保持在指定腔模附近？	透射、误差、执行器余量和失锁率
抑制频率噪声	哪些时间尺度的抖动被压低？	频率噪声功率谱密度
获得窄线宽	光谱在指定观测条件下有多窄？	环外拍频谱、相位噪声分析
长期频率稳定	秒、分钟、小时尺度漂移多少？	拍频时间序列、Allan 偏差
绝对频率准确	与定义频率或跃迁中心相差多少？	可溯源频率梳、原子或分子参考

锁到一个高精细度腔，并不自动知道激光的绝对频率；反过来，绝对频率准确也不保证短时间内的噪声很低。

PDH 光学稳频的经典工作可参见 Drever 等的原始论文。Black 的教学论文适合作为物理图像的补充阅读；下文固定一套符号，从场叠加独立展开计算。

2. 为什么只看透射峰不够？

单个孤立共振附近，理想腔的归一化透射功率近似为洛伦兹线型：

$$ \frac{P_t(\Delta\nu)}{P_{t,\max}} \simeq\frac{1}{1+(2\Delta\nu/\delta\nu_c)^2}. $$

这里的 $\delta\nu_c$ 始终指腔功率共振的半高全宽 FWHM，不是激光线宽。

在峰顶两侧，等大的正负失谐产生相同光强。更麻烦的是，峰顶处导数为零：激光刚偏离共振时，光强对频率的一阶敏感度恰好消失。

可以把激光锁在峰的一侧，利用非零斜率把频率变化变成强度变化，称为侧边锁定。但此时激光功率、光路透过率或模式匹配效率变化，也会改变探测电压。反馈难以判断“是频率漂了，还是光变暗了”。

PDH 转而读取反射光场中的相位信息。参考腔的反射光包含两部分：输入镜的直接反射，以及腔内建立的光场从输入镜泄漏出来的部分。它们的相对相位随失谐变化，因此复反射系数保留了“在共振左边还是右边”的信息。

问题随之变成：探测器只直接测强度，怎样把这份场的相位信息读出来？答案是给它一个与载波相干的参考——调制边带。

3. 一套 PDH 系统由哪些部分组成？

图 1｜红色表示光路，绿色表示 RF 与解调电信号，蓝色虚线表示反馈。反射光分离组件是功能框图，实际可用合适的偏振分光方案或分光器实现；图中没有规定 PBS 与波片的几何朝向。

主光路是：激光器 → 隔离器 → 相位 EOM → 模式匹配透镜 → 参考腔。反射光送到能够响应调制频率的光电探测器 RF-PD，透射光送到另一只 PD 辅助判断腔是否共振、是否锁在目标模式上。

RF 源分成两路：一路驱动 EOM，产生光学边带；另一路经过移相后作为混频器的本振 LO。反射探测信号进入混频器 RF 端，输出经过低通滤波后成为误差电压。伺服控制器再驱动激光电流、PZT 或其他执行器。

需要区分两个可能都叫 EOM 的器件：调制 EOM 用于生成鉴频边带；执行 EOM 若被采用，则用于施加反馈相位校正。 两者承担不同任务。外部相位执行器也不能无限积累直流频移，通常需要慢路卸载长期漂移。

若采用 PBS 与四分之一波片分离返光，应根据输入偏振、腔镜偏振特性和双程波片作用实测返光端口；不能只照着功能框图认定某个端口必然是反射端。

4. 相位调制为什么会产生载波和边带？

4.1 先统一符号

符号	含义与单位
$\nu_L,\nu_c,\Delta\nu$	激光频率、腔共振频率、失谐，单位 Hz
$\omega_L=2\pi\nu_L$	光学角频率，单位 rad/s
$f_m,\Omega=2\pi f_m$	RF 调制频率及角频率
$f$	噪声或小信号响应的傅里叶频率，单位 Hz
$\beta$	相位调制指数，无量纲，通常用 rad 表述
$\delta\nu_c,\mathcal F$	腔功率 FWHM 与精细度
$r(\Delta\nu)$	腔对光场的复反射系数
$D$	共振零点附近的鉴频斜率，单位 V/Hz

采用随时间变化的因子 $e^{i\omega t}$，对应前向传播相位 $e^{-ikz}$。EOM 后的复光场写成

$$ E_{\mathrm{in}}(t)=E_0e^{i\omega_Lt+i\beta\sin\Omega t}. $$

利用 Jacobi–Anger 展开，

$$ e^{i\beta\sin\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(\beta)e^{in\Omega t}. $$

当调制指数较小时，保留载波和一阶边带：

$$ E_{\mathrm{in}}(t)\simeq E_0\left[ J_0e^{i\omega_Lt}+J_1e^{i(\omega_L+\Omega)t} -J_1e^{i(\omega_L-\Omega)t}\right]. $$

为简洁起见，这里的 $J_0,J_1$ 都在 $\beta$ 处取值。下边带前的负号不能删掉，它来自 $J_{-1}=-J_1$，是相位调制与幅度调制在场结构上的重要区别。

设 EOM 后总入射功率为 $P_0$，则载波与每个一阶边带的功率为

$$ P_c=P_0J_0^2(\beta),\qquad P_s=P_0J_1^2(\beta). $$

完整展开满足 $\sum_n J_n^2(\beta)=1$。相位调制重新分配频谱，却不使理想入射光的总瞬时功率随时间振荡。

4.2 为什么入射光没有强度调制，反射光却有 RF 信号？

纯相位调制的不同拍频项在入射光中恰好相消。腔分别对载波、上边带和下边带施加不同的复反射系数，打破这种相消，于是反射光强中出现随 $f_m$ 振荡的分量。

它携带的并不是“光学频率本身的振荡”，而是两个光学分量的差频拍频。普通电子学无法直接跟随数百 THz 的光场，但可以处理 MHz 量级的差频。

图 2｜左：β = 0.30 时约 95.58% 的功率在载波，每个一阶边带约占 2.20%；谱线高度表示功率，不显示下边带的场负号。中：反射功率近似偶对称，反射场虚部为奇对称。右：同一复反射系数在复平面上的轨迹。

5. 从反射光场推导 PDH 误差信号

5.1 腔的复反射系数

设输入镜和端镜的实振幅反射率为 $r_1,r_2$，输入镜无吸收，$a$ 为额外的腔内往返振幅存活因子。选取与前述传播约定一致的相位参考，可写成

$$ r(\Delta\nu)= \frac{r_1-r_2a\,e^{-i2\pi\Delta\nu/\nu_{\mathrm{FSR}}}} {1-r_1r_2a\,e^{-i2\pi\Delta\nu/\nu_{\mathrm{FSR}}}}. $$

这里没有把振幅反射率与功率反射率混为一谈；后者是 $R_i=r_i^2$。共振时

$$ r(0)=\frac{r_1-r_2a}{1-r_1r_2a}. $$

只有在临界耦合条件 $r_1=r_2a$ 下，共振载波的反射才可完全相消。理想无损对称两镜腔属于这个情况。真实的欠耦合、过耦合、模式失配以及调制边带，都会使锁定时探测器上仍有反射光。

对高精细度、临界耦合、孤立共振，令

$$ x=\frac{2\Delta\nu}{\delta\nu_c},\qquad r(\Delta\nu)\simeq\frac{ix}{1+ix}= \frac{x^2+ix}{1+x^2}. $$

于是

$$ |r|^2\simeq\frac{x^2}{1+x^2},\qquad \operatorname{Im}r\simeq\frac{x}{1+x^2}. $$

前者不能区分正负失谐，后者可以。严格在反射场为零处，其相位本身没有定义，因此“测共振点的相位”更准确的理解是：利用参考边带读取共振附近的场正交分量。

5.2 探测器保留了哪些拍频项？

定义

$$ r_0=r(\Delta\nu),\qquad r_+=r(\Delta\nu+f_m),\qquad r_-=r(\Delta\nu-f_m). $$

反射场是

$$ E_r=E_0e^{i\omega_Lt} \left[J_0r_0+J_1r_+e^{i\Omega t}-J_1r_-e^{-i\Omega t}\right]. $$

将其乘以自身的复共轭。直流项对应平均功率，上下边带互拍给出 $2\Omega$ 项，而载波与两个边带互拍给出

$$ P_{r,\Omega}(t)=2P_0J_0J_1\operatorname{Re} \left[B(\Delta\nu)e^{i\Omega t}\right], \qquad B=r_+r_0^*-r_0r_-^*. $$

这里的两个拍频项有相对负号。因此纯相位调制的三频结构、参考腔的复反射响应与探测器的平方律，缺少其中任意一环都无法得到正确的误差信号。

5.3 混频和低通怎样取出误差？

把反射光功率对应的电信号乘以归一化本振 $2\cos(\Omega t+\phi)$，并滤去高频项，得到

$$ V_\phi=2GP_0J_0J_1 \operatorname{Re}\left[B(\Delta\nu)e^{-i\phi}\right]. $$

$G$ 的单位为 V/W，包含光电响应度、RF 增益、实际混频与基带增益，以及传播到探测器的光学损耗。这里的“乘 2”只是为了明确解调归一化；商用混频器不会天然执行这个精确数学乘法，应将实际转换系数纳入 $G$，或直接标定 $D$。

当载波靠近共振，且边带远离所有相关腔模时，可近似认为 $r_+\simeq r_-\simeq1$。于是

$$ B\simeq r_0^*-r_0=-2i\operatorname{Im}r_0. $$

选择 $\phi=-\pi/2$，即以 $2\sin\Omega t$ 解调，便得到

$$ V_{\mathrm{err}}\simeq4GP_0J_0J_1\operatorname{Im}r_0 \simeq4GP_0J_0J_1\frac{x}{1+x^2}. $$

这是熟悉的中央色散形 PDH 信号。若改变场的时间相位约定、混频相位或接线极性，整条曲线可以上下翻转；实际调试必须测清执行器方向，不能从别人的图上照搬反馈符号。

5.4 零点斜率与线性范围

在 $|\Delta\nu|\ll\delta\nu_c/2$ 内，

$$ V_{\mathrm{err}}\simeq D\Delta\nu,\qquad D=\left.\frac{dV_{\mathrm{err}}}{d\Delta\nu}\right|_0 \simeq\frac{8GP_0J_0(\beta)J_1(\beta)}{\delta\nu_c}. $$

这个系数适用于本文的临界耦合、模式完全匹配和解调归一化。实际模式重叠、腔耦合条件、RF 相位、光学损耗与器件响应会改变斜率。

线性范围不能简单等同于“整条 S 形曲线”。以理想式为例，实际曲线与零点切线的比值为 $1/(1+x^2)$。在失谐达到半高全宽的 0.1 倍时，线性近似已高估信号约 4%（相对于切线，实际信号低约 3.85%）；若要求相对切线的偏差低于 1%，应约束 $|\Delta\nu|\lesssim0.05\delta\nu_c$。

图 3｜使用完整腔反射系数，并对 −8 至 +8 阶边带求和。左：载波扫过 ±20 MHz 时，边带也会扫到腔共振，产生额外结构。右：放大中央共振；阴影对应 ±0.1 倍腔 FWHM。所有曲线均为模型结果。

6. 三个容易混淆的设计参数

6.1 调制频率：既要离开主共振，也要避开其他腔模

常用的高频 PDH 工作条件是

$$ \delta\nu_c\ll f_m\ll\nu_{\mathrm{FSR}}. $$

第一项保证载波在主共振附近变化时，边带仍主要被反射，可充当相位参考；第二项是避免接近相邻纵模的常见充分设计选择，并非对所有扩展 PDH 方案的严格定义。

还必须检查横模、偏振分裂模以及高阶边带。只核对 FSR 而忽略这些模式，仍可能得到畸变误差、额外零点或对准敏感的锁定频率。

不要把 $f_m$ 当作反馈带宽。20 MHz 调制不代表能实现 20 MHz 的稳频闭环；环路能跑多快，还由执行器、腔响应、滤波器和延迟决定。

6.2 调制指数：边带不是越强越好

在上述简化模型、固定入射总功率下，鉴频斜率正比于 $J_0(\beta)J_1(\beta)$。$\beta$ 很小时边带太弱；$\beta$ 很大时，功率又被分散到更多高阶边带。

单看这个乘积，其最大值出现在约 $\beta=1.08$ 附近，但此时三频近似已不适合描述全部光功率。最大斜率也不等于整套系统最优：需要同时考虑探测噪声、RAM、可用载波功率、EOM 驱动和高阶边带与腔模的接近程度。本文取 $\beta=0.30$，便于清楚展示三频图像。

若 EOM 的标称 $V_\pi$ 对应峰值驱动电压，可用 $\beta\simeq\pi V_{\mathrm{pk}}/V_\pi$ 作初步估计，但共振型 EOM、阻抗匹配和厂家电压定义都会影响换算。实际可以借助扫描腔测量边带/载波功率比，并用 $P_s/P_c=J_1^2/J_0^2$ 拟合。

6.3 解调相位：选择正确的信号正交分量

在边带远离共振的理想极限，偏离最佳解调相位 $\theta$ 后，斜率约乘上 $\cos\theta$。偏差 90° 时，中央鉴频信号几乎消失；偏差 180° 时，反馈极性反转。

真实装置还存在有限边带响应、RF 延迟、寄生干涉与 RAM。调相位的目的不只是让波形“最高”，还要观察零点、对称性、斜率及其随功率或温度的变化。必要时同时记录 I/Q 两个正交分量。

图 4｜左图采用理想正交解调模型；右图在色散信号上加入恒定偏置。偏置足以移动误差零点，图中信号没有直接等同于某个具体 EOM 的 RAM 参数。

7. 器件选择：每个元件都影响最终噪声

部件	主要任务	应核对的量
光隔离器	减少不受控返光进入激光器	隔离度、插损、波长与偏振适配
相位 EOM	在已知 RF 频率生成边带	调制效率、驱动阻抗、温漂、偏振与 RAM
模式匹配透镜	让入射高斯束与目标腔模重叠	束腰位置与大小、对准、透射模式形状
参考腔	提供频率鉴别基准	FSR、线宽、镜损耗、横模、热/振动响应
RF-PD	测量载波与边带拍频	在 $f_m$ 及邻域的响应、饱和功率、噪声和相位
RF 源与分配网络	提供一致的调制/解调参考	相噪、幅噪、端口隔离、阻抗与线缆稳定性
混频器与低通	提取基带误差	LO 驱动要求、转换增益、偏置、低通相位延迟
执行器与伺服	改变激光频率并补偿动态响应	Hz/V、动态范围、机械共振、延迟、积分饱和

RF-PD 能看到调制频率只是最低条件。 若希望处理傅里叶频率为 $f$ 的频率扰动，探测与 RF 链路在 $f_m\pm f$ 附近的幅相响应都会影响解调后的动态响应。

低通也有双重任务：抑制混频残余高频，并保留反馈所需的基带。截止频率过低会拖慢环路，过高则可能留下 RF 泄漏和额外噪声；需要把真实滤波器放进环路测量，而不能只按“能滤掉 20 MHz”来选择。

模式匹配效率与腔耦合不是同一个概念。前者描述空间模式重叠，后者描述输入耦合与腔内总损耗之间的关系。很深的反射谷通常是好迹象，但仅凭谷深不能把二者完全分开，更不能把边带背景忽略后直接读成耦合效率。

8. 一组可复算的参数实例

下面全部是用于理解量级的设计示例，不是某套仪器的实测性能。取真空对称无损参考腔，模式完全匹配，参数为：

参数	数值
腔长 $L$	0.10 m
精细度 $\mathcal F$	100 000
调制频率 $f_m$	20 MHz
调制指数 $\beta$	0.30
到达参考腔的总入射功率 $P_0$	0.20 mW
本文归一化下的总转换系数 $G$	$10^4\ \mathrm{V/W}$

腔参数为

$$ \nu_{\mathrm{FSR}}=1.49896229\ \mathrm{GHz},\qquad \delta\nu_c=\frac{\nu_{\mathrm{FSR}}}{\mathcal F} =14.9896\ \mathrm{kHz}. $$

由贝塞尔函数得到 $J_0(0.30)\simeq0.97763$、$J_1(0.30)\simeq0.14832$，故

$$ D\simeq1.54774\times10^{-4}\ \mathrm{V/Hz} =0.154774\ \mathrm{V/kHz}. $$

这说明在足够靠近零点时，100 Hz 失谐产生约 15.5 mV 的误差。如果解调链路额外产生 1 mV 直流偏置，闭环会把激光推离真实腔共振约

$$ \Delta\nu_{\mathrm{offset}}=-\frac{V_{\mathrm{offset}}}{D} \simeq-6.46\ \mathrm{Hz}. $$

这个算例也解释了为什么不能只追求漂亮的误差信号：当斜率已很高时，很小的慢漂电压、RAM 或热漂都可能成为真实频率漂移的来源。

上述 $G$ 已经包含本例假设的整个测量链路。真实装置中，最可靠的办法是扫描得到已知频率刻度，直接拟合零点附近的 V/Hz，而不是逐项相乘后相信每个器件的标称增益。

9. 闭环怎样压低频率噪声？

9.1 先写清楚信号和单位

在锁定点附近线性化，令 $H(f)$ 是鉴频器的动态响应，单位 V/Hz；$C(f)$ 是控制器；$A(f)$ 是执行器响应，单位 Hz/V。定义负反馈极性后，开环传递函数为

$$ \mathcal L(f)=A(f)C(f)H(f). $$

静态时 $H(0)=D$。为说明噪声路径，设 $n_{\nu,L}$ 是自由激光频率噪声，$n_{\nu,c}$ 是腔共振频率噪声，$n_V$ 是叠加在鉴频器输出处的测量电压噪声。反馈关系写成

$$ V_e=H(\delta\nu_L-n_{\nu,c})+n_V, \qquad \delta\nu_L=n_{\nu,L}-ACV_e. $$

代入整理可得

$$ \delta\nu_L= \underbrace{\frac{1}{1+\mathcal L}}_{S}\,n_{\nu,L} +\underbrace{\frac{\mathcal L}{1+\mathcal L}}_{T}\,n_{\nu,c} -\frac{T}{H}\,n_V. $$

因此，大环路增益同时带来三件事：压低自由激光噪声，使激光跟随腔，并把测量噪声通过反馈写入真实光频率。增加增益只能改善其中一些噪声路径，无法让所有噪声一起消失。

若三种噪声互不相关，频率噪声 PSD 可写为

$$ S_{\nu,\mathrm{out}}= |S|^2S_{\nu,L}+|T|^2S_{\nu,c} +\left|\frac{T}{H}\right|^2S_V. $$

若噪声相关，例如激光电流同时改变频率与功率，则要考虑交叉谱项。这也提醒我们：把不同来源的幅度谱直接相加通常不对；独立噪声应先按功率谱相加。

9.2 单位增益频率与相位裕度

令 $|\mathcal L(f_u)|=1$，定义单位增益频率 $f_u$。在常见稳定开环、单一主要交越的条件下，相位裕度为

$$ \mathrm{PM}=180^\circ+\arg\mathcal L(f_u). $$

若交越附近相位已接近 −180°，本想纠正的反馈会接近增强扰动，产生很高的伺服凸起、振铃，甚至自激。多交越、机械共振或非最小相位系统需要更完整的稳定性分析，不能只看某一个相位裕度数值。

例如纯延迟 $\tau_d$ 带来

$$ \mathcal L_{\mathrm{delay}}(f)=e^{-i2\pi f\tau_d},\qquad \phi_{\mathrm{delay}}=-360^\circ f\tau_d. $$

200 ns 延迟在 1 MHz 就产生 72° 相位滞后。缩短信号路径、选择更快的电子学和减少数字处理延迟，有时比继续加控制器增益更有效。

关于实测传递函数、VNA 测量与环路调节，可参见 Wang、Subhankar 与 Britton 的反馈实践论文。它适合在理解本节反馈方程后阅读。

10. 腔线宽是否限制反馈带宽？

10.1 腔有存储时间，也有动态极点

对单模高精细度腔，若关断入射光后腔内功率以 $P(t)\propto e^{-t/\tau_P}$ 衰减，则

$$ \tau_P=\frac{1}{2\pi\delta\nu_c}. $$

光场振幅的衰减时间为 $2\tau_P$。对应于频率扰动的 PDH 小信号响应，在适用的高频调制、近共振模型下含有一个腔极点：

$$ H(f)\simeq\frac{D}{1+if/f_p}\,H_{\mathrm{el}}(f), \qquad f_p=\frac{\delta\nu_c}{2}. $$

$H_{\mathrm{el}}$ 包含探测、解调与基带电子学，归一化为 $H_{\mathrm{el}}(0)=1$。本文算例中，$\tau_P\simeq10.62\ \mu\mathrm{s}$，$f_p\simeq7.495\ \mathrm{kHz}$。

注意区分功率衰减时间、场衰减时间、功率谱 FWHM、角频率衰减率。很多看起来差两倍或差 $2\pi$ 的公式，其实是定义不同。

10.2 超过腔极点不代表完全失去信息

腔极点以上，鉴频响应幅度下降并增加相位滞后，但并非突然变成零。恰当的相位超前补偿和高速执行器可以使单位增益频率超过腔极点。代价是测量噪声、增益和稳定性设计变得更苛刻。

为了直观看到增益与稳定性的取舍，图 5 使用以下教学模型：积分控制项、在腔极点处的补偿零点、200 kHz 补偿极点、500 kHz 电子学极点，以及 200 ns 延迟。

$$ \mathcal L(f)=\frac{K}{if} \frac{1+if/f_p}{1+if/(200\,\mathrm{kHz})} \frac{1}{1+if/f_p} \frac{e^{-i2\pi f(200\,\mathrm{ns})}}{1+if/(500\,\mathrm{kHz})}. $$

这里 $K$ 的单位为 Hz，分别归一化使单位增益频率为 80 kHz 和 180 kHz。理想模型中的腔极点被精确补偿；实际装置的参数误差和附加极点会破坏这一理想抵消。

图 5｜80 kHz 情况的相位裕度约 53.35°；提高增益到 180 kHz 后降到约 15.25°，单位增益附近出现更强噪声放大。底图只表示自由激光噪声路径的幅度传递函数，不是包括参考腔与测量噪声在内的总频率噪声谱。

10.3 快慢两路反馈如何分工？

快路负责中高频扰动，常用激光电流或外部快速执行器；慢路负责长期漂移与工作点回中，常用 PZT 或温控。它们的增益、交接频段和积分器状态需要协调。

两个执行器的 Hz/V、符号、频率响应往往不同。PZT 可能存在尖锐机械共振；电流调谐可能伴随强度调制及热/载流子响应交叉；AOM 的频率控制则有声波传播延迟、有限扫描范围和可能的光束指向变化。

若 AOM 只在送入参考腔的取样支路内，它调节的是“被探测的那束光”。要判断实验使用的光是否也得到校正，必须追踪取光点与执行器位置。例如单程加频 AOM 锁定时有 $\nu_L+f_{\mathrm{AOM}}=\nu_c$，未经过 AOM 的光频率便是 $\nu_c-f_{\mathrm{AOM}}$。

11. 限制稳频性能的主要噪声

11.1 残余幅度调制 RAM

EOM 本意是纯相位调制，但偏振未沿晶体合适轴、双折射随温度变化、晶体与窗口形成寄生 etalon、散射和后续偏振光学，都可能让光功率在 $f_m$ 上带有一小部分调制。这称为残余幅度调制（RAM）。

RAM 经过同一条解调链路后，可能成为误差电压中的偏置。局部可以表示为

$$ V_{\mathrm{err}}\simeq D\Delta\nu+V_{\mathrm{RAM}}+V_{\mathrm{elec}}, \qquad \Delta\nu_{\mathrm{lock}}\simeq- \frac{V_{\mathrm{RAM}}+V_{\mathrm{elec}}}{D}. $$

因此，误差被反馈压到零时，激光仍可能偏离真实腔中心。RAM 转换成频移的效率还依赖腔的耦合状态和空间模式匹配，并没有一个对所有系统通用的“RAM 百分比 → Hz”系数。Shi 等的研究专门分析并测量了这些耦合因素。

处理方法包括优化 EOM 输入偏振、降低寄生反射、稳定 EOM 温度，以及设置独立 RAM 探测和偏置控制。调解调相位有时能减小某个 RAM 投影，但可能同时牺牲鉴频斜率，也不能保证温漂后仍有效。

11.2 光电散粒噪声与电子学噪声

平均光电流为 $\bar I$ 时，理想泊松探测的单边电流散粒噪声幅度谱密度为

$$ i_{\mathrm{shot}}=\sqrt{2e\bar I} \quad[\mathrm{A}/\sqrt{\mathrm{Hz}}]. $$

但 RF 噪声经过混频后会折叠到基带，数值因子取决于单双边谱、混频归一化和噪声在 RF 两侧的相关性。不能把上式随意乘一个跨阻，再除以某本书中的鉴频系数，就声称得到了准确的 PDH 散粒噪声极限。

对于已经在基带实测的电压噪声幅度谱密度 $e_n(f)$，一个更直接的等效输入频率噪声表达式是

$$ \sqrt{S_{\nu,\mathrm{meas}}(f)}=\frac{e_n(f)}{|H(f)|} \simeq\frac{e_n(f)}{|D|}\quad(f\ll f_p). $$

例如在本例低频极限，若基带噪声为 $10\ \mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$，等效频率噪声约为 $6.46\times10^{-5}\ \mathrm{Hz}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$。这只是指定噪声电平的换算，既不是本文系统实测值，也没有证明实际装置能达到这个电压底噪。

增加光功率通常能改善探测受限的信噪比，但可能引起 PD/RF 饱和、腔镜吸收加热和光热频移。应记录噪声和零点随光功率的变化，寻找真正限制项。

11.3 参考腔噪声与传输路径噪声

温度扰动、机械振动、空气折射率变化和腔内光功率变化都会移动参考频率。即使工程隔离做得很好，镜面、镀膜和支撑材料的热涨落仍可能构成底噪；例如 NIST 的紧凑参考腔研究展示了热噪声与加速度敏感度在实际参考腔设计中的重要性。

此外，取样光路、光纤与自由空间传播中的光程变化会带来相位噪声。PDH 回路看不到的实验输出路径，也不会因为“激光已经锁定”就自动安静。必要时应把路径噪声计入预算或另行补偿。

12. 从扫描腔到可靠锁定的调试顺序

1. 先确定目标模式。 保持反馈断开，慢扫激光或腔长，同时记录透射和反射；调整入射位置、角度及高斯束参数，识别基横模与高阶模式。避免 PD 饱和后把削平峰误认为正常线型。
2. 建立频率刻度。 使用已知 FSR，或利用载波与边带依次入腔时的间隔 $f_m$ 标定扫描横轴。PZT 扫描存在迟滞和非线性，不应把整段时间轴默认成严格线性频率轴。
3. 检查准静态条件。 过快扫腔会产生动态振铃；若想拟合静态线宽或斜率，需要让扫过一个线宽的时间足够长于腔响应时间。必要时用 ring-down 独立测腔线宽。
4. 检查调制与 RF 链。 核实 EOM 工作、RF-PD 有足够响应、混频器端口正确、本振达到器件要求；区分 RF 直串到探测电路与真实光学拍频。
5. 调整解调相位。 在主共振处获得清晰、近似奇对称的中央误差信号，同时记录透射峰。零点应与目标共振对应，而不是偶然落在相邻结构上。
6. 标定斜率和偏置。 对中央足够窄的区间拟合 $D$，检查暗电偏置、RF 开关引起的偏置、功率和偏振变化引起的零点漂移。
7. 确认反馈方向。 测定执行器电压增加时频率向哪个方向变化，再以低增益接入反馈。如果靠近零点反而被推出，应检查总极性；只在可控的小范围内验证。
8. 建立慢路捕获，再优化快路。 扫到目标共振附近后闭环，逐步加入积分与快路增益；观察是否出现振铃、执行器饱和或跳到别的模式。
9. 测量环路与环外噪声。 小信号注入时保证系统在线性区，建立正确的注入/读出模型；调整补偿后再验证单位增益、相位裕度和拍频噪声。
10. 验证长时间运行。 记录透射、误差、快慢控制电压和独立频率测量。检查热漂后的工作余量、失锁恢复以及积分器 anti-windup（防止饱和时继续积分）行为。

PDH 中央线性区通常很窄。自由激光如果在建立反馈前就快速跑出这个区域，仅有一条理论上很陡的误差曲线并不足以可靠捕获。粗预稳频、扫描捕获和自动重锁应根据激光本身的噪声与漂移设计。

13. 看见这些现象，优先排查什么？

现象	常见原因	有区分力的检查
透射有共振，误差几乎没有	调制太弱、PD/RF 链不通、解调落在正交方向	测 RF 拍频，转解调相位并观察 I/Q
波形偏斜、零点离开透射峰	RAM、电子学偏置、邻近模式、扫速过快	改变功率/偏振/扫速，比较零点与线型
刚接反馈就远离共振	执行器与解调的总极性错误	独立测 Hz/V 的符号，用低增益验证
加大增益后出现尖峰或振铃	相位裕度不足、机械共振、延迟	测开环幅相，检查伺服凸起的位置
误差很小但透射也很低	激光远离共振、无光、锁到其他零点或电子学异常	联合看透射、RF 功率、误差和执行器
短时能锁，几分钟后失锁	慢漂超出范围、积分饱和、RAM/模式匹配漂移	记录慢路电压与温度，检查工作点回中
改光功率后频率变了	RAM 转换、偏置相对权重、光热效应、饱和	在无饱和区扫描功率并做环外拍频
环内谱很好，环外谱仍差	测量噪声被反馈写入、腔噪声、输出路径噪声	用独立参考测量，并分别改变探测功率与路径

误差为零不是充分的“锁定证明”。 没有光时误差也可能接近零；远离共振时色散信号会变小；边带与其他腔模还能产生额外零点。可靠判锁至少要结合透射门限、误差信号和执行器状态。

14. 如何证明稳频真的有效？

14.1 环内误差信号有什么局限？

由第 9 节的反馈方程，测得的环内误差为

$$ V_e=\frac{H(n_{\nu,L}-n_{\nu,c})+n_V}{1+\mathcal L}. $$

大增益可以把它压得很小，包括把传感器噪声在这一路读数中的表现一起压低。然而真实输出里仍存在 $-Tn_V/H$ 项。这种相关反馈导致的环内“噪声压低”不能直接当作光频率本身的噪声底。

把环内电压除以静态斜率，只有在低频、标定可靠且传感器噪声可忽略时，才适合估算对应的残余失谐。超过腔极点必须使用完整 $H(f)$，更不能据此替代独立性能测量。

14.2 环外测量与线宽

常见做法是把锁定激光与独立参考激光拍频，测量拍频的频率噪声、相位噪声与随时间漂移。也可以使用独立腔或其他经过标定的鉴频手段。

若两台激光噪声独立，拍频频率噪声 PSD 为两者之和；只有知道另一台参考的贡献，才可推断待测激光的单独性能。两束光共用同一参考腔或共用某些路径时，公共噪声可能相消，不能把这种拍频直接解释为各自绝对频率稳定度。

线宽是光谱指标，不能把整个误差电压 RMS 除以斜率就宣布得到“激光线宽”。在理想白频率噪声、采用单边 PSD $S_\nu(f)=h_0$ 的条件下，光谱为洛伦兹型且有

$$ \Delta\nu_{L,\mathrm{FWHM}}=\pi h_0. $$

这里的 $\Delta\nu_L$ 是激光光谱线宽，与腔线宽 $\delta\nu_c$ 不同。存在低频漂移、闪烁噪声或明显伺服边峰时，必须说明测量时长、处理方式和频谱分辨率；一个线宽数字不足以描述全部性能。

14.3 长期稳定度

令分数频率偏差 $y(t)=[\nu(t)-\nu_0]/\nu_0$，在长度为 $\tau$ 的时间窗内平均得到 $\bar y_k$。基本 Allan 方差定义为

$$ \sigma_y^2(\tau)=\frac12 \left\langle(\bar y_{k+1}-\bar y_k)^2\right\rangle. $$

实际报告应说明采样间隔、死时间、是否去线性漂移、使用何种估计器与不确定度。对有明显漂移的腔，去漂移与不去漂移的曲线回答不同问题，宜清楚区分。

15. 计算代码、适用边界与参考资料

本文给出一套贯穿频谱、反射、解调和控制的可复算示例：

• 下载绘图与数值检查脚本
• 查看数值验证结果
• 查看封面生图提示词与制作说明

脚本依赖 Python、NumPy、SciPy 和 Matplotlib。它会生成图 1–5 的 PNG/SVG，并检查贝塞尔展开的功率守恒、腔的半高宽、误差信号奇对称性、零点斜率，以及时域光场平方后同步解调与频域相邻边带求和是否一致。

本文数值曲线采用孤立的基横模、对称无损腔和理想相位调制，不模拟具体装置的偏振模分裂、散射、RF 饱和及实际激光执行器。图 5 进一步采用明确写出的理想控制模型。搭建真实装置时，应以实测腔参数、鉴频斜率和执行器传递函数替换这些假设。

推荐按以下顺序延伸阅读：

1. E. D. Black, “An introduction to Pound–Drever–Hall laser frequency stabilization,” American Journal of Physics 69, 79–87 (2001). DOI · 高校托管全文。用于建立反射场、边带与解调的物理图像。
2. R. W. P. Drever et al., “Laser phase and frequency stabilization using an optical resonator,” Applied Physics B 31, 97–105 (1983). DOI。追溯光学 PDH 方法的经典研究。
3. W. Wang, S. Subhankar and J. W. Britton, “A practical guide to feedback control for Pound-Drever-Hall laser linewidth narrowing.” arXiv:2412.04635 · 本文核对的 v2 全文。连接器件、传递函数和反馈调试。
4. X. Shi et al., “Suppression of residual amplitude modulation effect in the Pound-Drever-Hall locking.” arXiv:1710.08575。讨论 RAM、模式匹配和腔耦合如何共同影响锁定频率。
5. M. Kelleher et al., “Compact, portable, thermal-noise-limited optical cavity with low acceleration sensitivity,” Optics Express 31 (2023). NIST 论文页面 · DOI。了解参考腔热噪声与机械敏感度的实际研究。

PDH 系统能达到的稳定性，最终来自整条链路的共同表现：边带提供相干参考，参考腔把失谐写入反射场，解调器读出方向，伺服在可控的带宽内纠正频率，而独立测量负责验证这份稳定是否真正出现在实验使用的光上。