考虑一族积分
$$
I_n=\int_0^\infty x^n e^{-x^2}\,\mathrm dx.
$$
当 时，它是经典的半轴高斯积分；当 是正整数时，它是高斯函数的各阶矩。这一族积分看似每增加一次幂都要重新计算，实际上只需弄清两个起点，再用一个递推式就能得到所有非负整数阶的答案。本文先允许 为实数，得到统一公式；之后再把整数阶写成更直观的阶乘形式。
1. 先判断什么时候收敛
积分区间两端都要检查。在 时，，因此被积函数的行为与 相同。由
$$
\int_0^1x^n\,\mathrm dx<\infty
\quad\Longleftrightarrow\quad n>-1,
$$
可知原点处要求 。特别地， 会出现对数发散；更小的 也发散。
在无穷远处， 比任何固定幂次的 衰减得都快，所以对任意固定实数 ，尾部积分都收敛。合起来得到
$$
\boxed{I_n\text{ 收敛当且仅当 }n>-1.}
$$
接下来的等式都在这个条件下成立。
2. 一次换元得到统一公式
令 。因为积分只取 ，所以 ，且
$$
\mathrm dx=\frac{1}{2\sqrt t}\,\mathrm dt,
\qquad x^n=t^{n/2}.
$$
代回原积分，逐步合并幂次：
$$
\begin{aligned}
I_n
&=\int_0^\infty t^{n/2}e^{-t}\frac{\mathrm dt}{2\sqrt t}\\
&=\frac12\int_0^\infty t^{(n-1)/2}e^{-t}\,\mathrm dt.
\end{aligned}
$$
Gamma 函数的定义是
$$
\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,\mathrm dt,
\qquad s>0.
$$
对照指数 ，即 ，立刻得到本文的总公式：
$$
\boxed{I_n=\frac12\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right),\qquad n>-1.}
$$
这一步也解释了为什么定义域恰好是 ：Gamma 积分要求 。
3. 不预先知道 Gamma 函数，怎样求出起点？
若只关心非负整数 ，可以绕开 Gamma 函数，从 和 开始递推。
3.1 半轴高斯积分
记 。这个积分不能用通常的初等原函数直接求值，但可以先平方，再改用极坐标：
$$
G^2
=\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm dx\right)
\left(\int_0^\infty e^{-y^2}\,\mathrm dy\right)
=\int_0^\infty\!\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy.
$$
由于被积函数非负，这里可以把两个一维积分合并为第一象限的二重积分。设 、，第一象限对应 、，面积元为 。因此
$$
\begin{aligned}
G^2
&=\int_0^{\pi/2}\!\int_0^\infty e^{-r^2}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}\frac12\,\mathrm d\theta
=\frac\pi4.
\end{aligned}
$$
因为 ，所以
$$
\boxed{I_0=\frac{\sqrt\pi}{2}.}
$$
注意积分只覆盖正半轴，因此它是全轴高斯积分 的一半。
3.2 另一个起点
由于 ，有
$$
I_1=\int_0^\infty xe^{-x^2}\,\mathrm dx
=\left[-\frac12e^{-x^2}\right]_0^\infty
=\boxed{\frac12}.
$$
这两个起点不同：偶数阶最终带有 ，奇数阶最终只含阶乘和有理数。
4. 分部积分得到递推关系
对整数 ，把被积函数写成 ，取
$$
u=x^{n-1},\qquad
\mathrm dv=xe^{-x^2}\,\mathrm dx,
\qquad
\mathrm du=(n-1)x^{n-2}\,\mathrm dx,
\qquad
v=-\frac12e^{-x^2}.
$$
分部积分给出
$$
I_n
=\left[-\frac12x^{n-1}e^{-x^2}\right]_0^\infty
+\frac{n-1}{2}\int_0^\infty x^{n-2}e^{-x^2}\,\mathrm dx.
$$
边界项为零：在 ，；在无穷远处，指数衰减压过多项式增长。因此
$$
\boxed{I_n=\frac{n-1}{2}I_{n-2},\qquad n=2,3,4,\ldots.}
$$
递推每次降低 2 阶，所以偶数阶最终到达 ，奇数阶最终到达 。不能把这个分部积分式直接用于 ：此时 在原点不为零，而且形式上的 本身发散。
从 Gamma 公式也能检查递推：对 ，利用 ，同样得到 。
5. 整数阶的闭式答案
设 。
5.1 偶数阶
从 出发，依次应用递推式：
$$
\begin{aligned}
I_{2m}
&=\frac{2m-1}{2}I_{2m-2}\\
&=\frac{(2m-1)(2m-3)\cdots3\cdot1}{2^m}I_0\\
&=\boxed{\frac{(2m-1)!!}{2^{m+1}}\sqrt\pi}.
\end{aligned}
$$
其中 表示奇数的连乘，约定 ，这样 也适用。利用 ，还可写成
$$
\boxed{I_{2m}=\frac{(2m)!}{2^{2m+1}m!}\sqrt\pi.}
$$
5.2 奇数阶
从 出发：
$$
\begin{aligned}
I_{2m+1}
&=mI_{2m-1}\\
&=m(m-1)\cdots2\cdot1\,I_1\\
&=\boxed{\frac{m!}{2}}.
\end{aligned}
$$
当 时，取 ，便回到 。
把前几项列出来，便于检查下标和系数：
|
|
由递推得到 |
| 0 |
|
高斯积分 |
| 1 |
|
直接换元 |
| 2 |
|
|
| 3 |
|
|
| 4 |
|
|
| 5 |
|
|
例如，，而 。表中的 只是这两个值恰好相等，并不表示积分随 始终单调。
6. 非整数指数与参数推广
Gamma 公式的价值在于不必要求指数是整数。例如， 时，答案自然写成
$$
I_{1/2}=\frac12\Gamma\!\left(\frac34\right).
$$
更一般地，若高斯指数中带正参数 ，令 可得
$$
\boxed{
\int_0^\infty x^n e^{-ax^2}\,\mathrm dx
=\frac{1}{2a^{(n+1)/2}}
\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right),
\qquad a>0,\ n>-1.
}
$$
其中 也可以由尺度变换 预先看出来：高斯峰越窄，积分按这一幂次缩小。
如果积分改为整个实轴，需要另外注意奇偶性。对非负整数 ，
$$
\int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-x^2}\,\mathrm dx
=\begin{cases}
2I_n,&n\text{ 为偶数},\\
0,&n\text{ 为奇数}.
\end{cases}
$$
半轴上的奇数阶积分并不为零；“奇函数积分为零”只适用于关于原点对称的积分区间。
7. 核心结论
对题目中的积分，先检查 ，再选合适的计算路径：
$$
\boxed{
I_n=\int_0^\infty x^n e^{-x^2}\,\mathrm dx
=\frac12\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right),
\qquad n>-1.
}
$$
对于非负整数，记住两个起点和一个递推即可：
$$
\boxed{
I_0=\frac{\sqrt\pi}{2},\qquad
I_1=\frac12,\qquad
I_n=\frac{n-1}{2}I_{n-2}\quad(n\geqslant2).
}
$$
于是偶数阶给出 ，奇数阶给出 。整个计算的关键是：平方求出高斯积分，换元识别 Gamma 函数，分部积分连接相隔两阶的项。
