广义Snell定律

广义 Snell 定律的推导

传统 Snell 定律的推导

传统斯涅尔定律最经典的推导基于费马原理（Fermat’s principle），即光在两点之间传播的路径是光程取极值（通常为极小值）的路径。光程 $L$ 定义为几何路径 $s$ 与介质折射率 $n$ 的乘积，即 $L = n \cdot s$

考虑光从点 $A$（在介质 $n_1$ 中）传播到点 $B$（在介质 $n_2$ 中），通过界面上的点 $P$ 发生折射。

建立光程函数

设 $A$ 和 $B$ 到界面的垂直距离分别为 $a$ 和 $b$，水平距离为 $d$，$P$ 点到 $A$ 投影点的距离为 $x$。则总光程函数为：
$$
L(x) = n_1 \cdot \bar{AP} + n_2 \cdot \bar{BP} = n_1 \sqrt{x^2 + a^2} + n_2 \sqrt{(d - x)^2 + b^2}
$$

对光程取极值

费马原理要求光程 $L$ 对 $x$ 的导数为零：$\frac{dL}{dx} = 0$

计算导数：

$$
\frac{dL}{dx} = n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} - n_2 \frac{d - x}{\sqrt{(d - x)^2 + b^2}} = 0
$$

引入角度关系

有几何关系可知：
$$
\sin\theta_i = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}},\quad \sin\theta_t = \frac{d - x}{\sqrt{(d - x)^2 + b^2}}
$$

代入上式，有：
$$
n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t
$$

核心思想：此推导基于“路径优化”，光选择了一条使其传播时间最短的路径。其隐含的假设是光在界面处的相位变化是连续的。

广义 Snell 定律的推导

广义斯涅尔定律的推导基于波前（相位）匹配条件。它考虑了界面本身（如超表面）可以引入一个额外的、人为设计的相位突变 $\Phi(x,y)$。

核心思想：光在穿过界面时获得一个局域的相位跳跃 $\Phi(x,y)$。为了保持波前连续，其出射方向必须满足：界面两侧的波矢沿界面的分量之差，等于该额外相位的空间变化率。

推导过程（以反射定律为例）

考虑一束光从介质 $n_i$ 入射到带有相位梯度的超表面界面上。

建立波矢与相位关系

• 入射光波矢：$\vec{k_i}$，其沿界面（x方向）分量 $k_{i,x} = n_i k_0 \sin\theta_i$。
• 反射光波矢：$\vec{k_r}$，其沿界面分量 $k_{r,x} = n_i k_0 \sin\theta_r$。
• 界面在位置 $x$ 处引入的相位突变 $\Phi(x)$。
• 真空波数：$k_0 = \frac{2\pi}{\lambda}$

应用局域相位匹配条件

考虑界面上无限接近的点 $x$ 和 $x+dx$：

• 反射光波从 $x$ 到 $x+dx$ 点产生的相位差为：$\vec{k_r} \cdot \vec{dx} = k_{r,x}dx$。
• 界面引入的额外相位差为：$d\Phi = \frac{d\Phi}{dx} dx$。
• 为保持波前连续，总相位差必须为零：
  $$
  k_{r,x}dx + \frac{d\Phi}{dx} dx = 0
  $$

代入波矢并化简

代入 $k_{r,x} = n_i k_0 \sin \theta_r$：
$$
n_i k_0 \sin \theta_r + \frac{d\Phi}{dx} = 0
$$
$$
n_i \frac{2\pi}{\lambda_0} \sin \theta_r = -\frac{d\Phi}{dx}
$$

考虑入射波的影响

更完整的相位匹配条件应考虑入射波：
$$
k_{r,x} - k_{i,x} = \frac{d\Phi}{dx}
$$
代入 $k_{i,x} = n_i k_0 \sin \theta_i$ 和 $k_{r,x} = n_i k_0 \sin \theta_r$：
$$
n_i k_0 (\sin \theta_r - \sin \theta_i) = \frac{d\Phi}{dx}
$$

得到广义斯涅尔反射定律：
$$
\sin \theta_r - \sin \theta_i = \frac{\lambda_0}{2\pi n_i} \frac{d\Phi}{dx}
$$

广义折射定律推导

1. 相位匹配条件

   对于透射情况，考虑相同的相位匹配原则：
   $$
   k_{t,x} - k_{i,x} = \frac{d\Phi}{dx}
   $$

2. 代入波矢并化简

   代入 $k_{i,x} = n_i k_0 \sin \theta_i$ 和 $k_{t,x} = n_t k_0 \sin \theta_t$：
   $$
   n_t k_0 \sin \theta_t - n_i k_0 \sin \theta_i = \frac{d\Phi}{dx}
   $$
   得到广义斯涅尔折射定律：
   $$
   n_t \sin \theta_t - n_i \sin \theta_i = \frac{\lambda_0}{2\pi} \frac{d\Phi}{dx}
   $$

参考文献

[1] 邓钦荣. 基于广义几何相位的全介质超构表面器件设计研究[D/OL]. 四川师范大学, 2024. https://link.cnki.net/doi/10.27347/d.cnki.gssdu.2024.000536.

[2] YU N, GENEVET P, KATS M A, 等. Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction[J]. Science, 2011, 334(6054): 333-337.