转盘上的小球为什么不飞走？从滚动约束到圆轨道的完整推导

把一颗小球放到匀速转动的水平圆盘上，它一定会被“甩出去”吗？如果你在圆盘旁边观察，可能看到两种反直觉的景象：小球一边自转，球心却几乎停在原地；或者小球的球心沿着一个小圆运动，而且这个小圆的圆心并不在转盘中心。

在一个明确的理想模型里，均匀实心球的轨道角速度满足

$$ \boxed{\omega_c=\frac27\Omega.} $$

这里的 $\Omega$ 是转盘角速度，$\omega_c$ 是实验室中球心绕自身轨道圆心运动的角速度。它不是小球的自转角速度，也不一定是球心绕转盘中心的角速度。弄清这三个量的区别，才算真正理解了“转盘悖论”。

本文以所给的 B 站视频 和 Klaus Weltner 的 1979 年论文 为出发点，从刚体运动学重新推导，并补全初始条件、能量和实验限制。原作者 Steve Mould 的 《The Turntable Paradox》视频说明 也给出了 $2/7$ 的结果，并提醒论文有排印错误。本文不依赖视频逐帧测量，所有配图都是依据下述模型制作的原创示意图或计算曲线。

图 1：左图中，盘心 O 和轨道圆心 C 是两个不同的点。右图给出实际接触力。图中的摩擦方向只是某一瞬间的方向，不能预先假定它总是朝向盘心。

1. 先把问题说准确：研究哪一种小球、哪一种转盘？

我们先研究这样一个系统：圆盘为刚性平面，严格水平；电机使圆盘绕竖直轴以恒定角速度旋转；球体具有球对称的质量分布；接触可近似为一个点；接触处不打滑；忽略空气阻力、滚动阻力矩和接触斑的扭转阻力。

忽略滚动阻力，不等于忽略静摩擦。 静摩擦正是使小球转弯、同时改变其自转的力。若把它一并删掉，就不再是本文的问题。

符号约定如下。

符号	含义
$m,a$	球的质量、半径
$I=\kappa ma^2$	球绕任一直径的转动惯量；$\kappa$ 描述质量分布
$D$	圆盘的半径
$\mathbf k$	竖直向上的单位向量
$\boldsymbol\Omega=\Omega\mathbf k$	圆盘的角速度，俯视逆时针取 $\Omega>0$
$\mathbf r=(x,y)$	球心的水平位置，也就是接触点相对于盘心的平面位置
$\mathbf v=\dot{\mathbf r}$	实验室中的球心速度
$\boldsymbol\omega$	球本身的三维自转角速度
$\mathbf C,\rho$	球心轨道的圆心位置、半径

球心的高度恒为 $a$，所以只需计算其水平运动。均匀实心球有 $\kappa=2/5$；均匀薄球壳有 $\kappa=2/3$。后面先保留一般的 $\kappa$，最后再代入具体球体。

除非特别说明，以下各矢量的时间导数都在实验室惯性系中计算。

2. 最关键的一步：接触点不打滑，究竟是什么意思？

2.1 盘面接触点在运动

圆盘上位于 $\mathbf r$ 的材料点，其瞬时速度为

$$ \mathbf u(\mathbf r)=\Omega\mathbf k\times\mathbf r. \tag{1} $$

用分量写，就是 $u_x=-\Omega y$、$u_y=\Omega x$。离盘心越远，盘面线速度越大。

2.2 球面接触点的速度是两部分相加

球心到接触点 P 的矢量为 $-a\mathbf k$。刚体上任一点的速度等于“质心平动速度 + 绕质心转动的速度”，所以

$$ \begin{aligned} \mathbf v_P &=\mathbf v+\boldsymbol\omega\times(-a\mathbf k)\\ &=\mathbf v+a\mathbf k\times\boldsymbol\omega. \end{aligned} \tag{2} $$

无滑动要求接触的两块材料在这一瞬间速度相等：

$$ \boxed{\mathbf v+a\mathbf k\times\boldsymbol\omega =\Omega\mathbf k\times\mathbf r.} \tag{3} $$

平时小球在静止地面上滚动，右边是零；现在地面本身在运动，右边不能再写成零。

图 2：左侧是接触点速度的矢量相加示意；右侧用局部运动盘面说明“原地滚动”。右图的盘面速度近似为接触附近的切向速度，并不表示整个圆盘在平移。

2.3 为什么球心可以停在原地？

把 $\mathbf v=0$ 代入式 (3)，就得到

$$ \boldsymbol\omega_\parallel=\frac{\Omega}{a}\mathbf r, \tag{4} $$

其中下标 $\parallel$ 指自转角速度在盘面内的分量。也就是说，只要预先让球具有合适的自转，球面底部就能跟上盘面，而球心不必随盘面一起跑。

若球心位于盘心右侧，球的水平自转轴也沿向右的径向方向。此时理想模型允许摩擦力为零，自转角速度保持不变，球心始终固定。这类似一只放在传送带上、轮轴位置固定而持续转动的自由轮子。

但“无自转的小球被直接放下”不满足式 (4)，通常会先打滑。原地滚动是特定初态的解，不是所有放球动作的必然结果。

3. 一个摩擦力，同时决定平动与转动

竖直方向上支持力抵消重力：$N=mg$。水平方向唯一的实际外力是接触处静摩擦 $\mathbf f$，故

$$ m\dot{\mathbf v}=\mathbf f. \tag{5} $$

对球心取力矩，重力和理想法向力都不贡献力矩，得到

$$ I\dot{\boldsymbol\omega} =(-a\mathbf k)\times\mathbf f =-a\mathbf k\times\mathbf f. \tag{6} $$

这一步使用了球对称的惯量张量 $\mathbf I=I\mathbf 1$，因此即使自转轴改变方向，也可直接写 $\mathbf L=I\boldsymbol\omega$。对一般非球对称刚体，不能不加修改地套用。

接下来对滚动约束式 (3) 求时间导数。由于盘面水平且 $\Omega$ 不变，

$$ \dot{\mathbf v}+a\mathbf k\times\dot{\boldsymbol\omega} =\Omega\mathbf k\times\mathbf v. \tag{7} $$

注意右边是沿着移动的接触位置对盘面速度场求导，得到 $\Omega\mathbf k\times\dot{\mathbf r}$；不能把它误写成某个固定盘面材料点的向心加速度。

把式 (5)、(6) 代入：

$$ \begin{aligned} a\mathbf k\times\dot{\boldsymbol\omega} &=-\frac{a^2}{I}\mathbf k\times(\mathbf k\times\mathbf f)\\ &=\frac{a^2}{I}\mathbf f =\frac{ma^2}{I}\dot{\mathbf v}. \end{aligned} \tag{8} $$

这里用了水平矢量的恒等式 $\mathbf k\times(\mathbf k\times\mathbf f)=-\mathbf f$。因此

$$ \left(1+\frac{ma^2}{I}\right)\dot{\mathbf v} =\Omega\mathbf k\times\mathbf v. \tag{9} $$

定义

$$ \begin{gathered} \alpha=\frac{I}{I+ma^2}=\frac{\kappa}{1+\kappa},\\ \omega_c=\alpha\Omega. \end{gathered} \tag{10} $$

就得到整个问题的核心方程：

$$ \boxed{\ddot{\mathbf r}=\omega_c\mathbf k\times\dot{\mathbf r}.} \tag{11} $$

它不是只靠几何关系得到的。滚动约束提供运动学联系，牛顿定律和角动量定理则决定了系数 $\alpha$。

原论文勘误。 Weltner 文中式 (14) 的分母写成 $1+mR^2/I$，但式 (18)、(19) 的相应位置误印为 $1+mR/I$；这里的 $R$ 是论文中的球半径，即本文的 $a$。正确分母必须含平方，才能是无量纲量。本文式 (9)、(10) 保留了这一平方，后续结果也由此独立推出。原论文，第 985 页

4. 不先假设圆轨道，直接证明它一定是圆

4.1 速率不变，但速度方向持续改变

将式 (11) 与 $\mathbf v$ 点乘：

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{v^2}{2} =\omega_c\mathbf v\cdot(\mathbf k\times\mathbf v)=0. \tag{12} $$

所以 $|\mathbf v|=v_0$ 恒定。加速度始终与速度垂直，而且对于 $\Omega>0$，它总是在速度方向的左侧。

定义一个二维操作 $J\mathbf p=\mathbf k\times\mathbf p$，即把平面矢量逆时针旋转 $90^\circ$。于是 $J^2=-1$。

考察矢量

$$ \mathbf C=\mathbf r+\frac{1}{\omega_c}J\mathbf v. \tag{13} $$

对它求导：

$$ \dot{\mathbf C}=\mathbf v+\frac{1}{\omega_c}J(\omega_c J\mathbf v) =\mathbf v-\mathbf v=0. $$

所以 $\mathbf C$ 是一个固定点。与此同时，

$$ \left|\mathbf r-\mathbf C\right| =\frac{|\mathbf v|}{|\omega_c|} =\frac{v_0}{|\omega_c|}=\rho. \tag{14} $$

到一个固定点的距离恒定，轨迹自然是圆。进一步有

$$ \begin{aligned} \mathbf v&=\omega_c J(\mathbf r-\mathbf C),\\ \ddot{\mathbf r}&=-\omega_c^2(\mathbf r-\mathbf C). \end{aligned} \tag{15} $$

这也直接表明，摩擦力指向轨道圆心 C。它不必指向转盘中心 O。

4.2 为什么正好是 2/7？

先把转动惯量本身算出来。设均匀质量密度为 $\varrho_m$，沿竖直轴切出厚度为 $\mathrm dz$ 的薄片。位于高度 $z$ 的截面半径平方为 $a^2-z^2$。用截面内的柱坐标半径 $s$ 积分：

$$ \begin{aligned} I&=\int_{-a}^a\int_0^{\sqrt{a^2-z^2}} s^2\varrho_m\,2\pi s\,\mathrm ds\,\mathrm dz\\ &=\frac{\pi\varrho_m}{2}\int_{-a}^a(a^2-z^2)^2\,\mathrm dz\\ &=\frac{\pi\varrho_m}{2} \left(2a^5-\frac43a^5+\frac25a^5\right) =\frac{8\pi\varrho_ma^5}{15}. \end{aligned} $$

再用 $m=4\pi\varrho_ma^3/3$ 消去密度，便得到均匀实心球的转动惯量：

$$ I=\frac25ma^2. $$

代入式 (10)：

$$ \boxed{\frac{\omega_c}{\Omega} =\frac{2/5}{1+2/5}=\frac27.} \tag{16} $$

质量 $m$ 和球半径 $a$ 都约掉了。因此，同为均匀实心球、且都满足理想滚动条件时，大小或质量不同的球具有相同的角速度比。轨道半径仍会随初速度改变。

周期关系则为

$$ T_c=\frac{2\pi}{|\omega_c|}=\frac72T_d. \tag{17} $$

转盘转 7 圈，球心绕自己的轨道圆心转 2 圈。 两者方向相同；球的自转圈数并不由这句话给出。

若 $\Omega=0$，式 (11) 退化为 $\ddot{\mathbf r}=0$，即静止水平面上的匀速直线滚动。此时不能再使用含 $1/\omega_c$ 的圆心公式。若 $v_0=0$ 而 $\Omega\ne0$，则圆退化成一个固定点。

5. 任意初始位置、初始速度：把轨道完整算出来

令初始条件为 $\mathbf r(0)=(x_0,y_0)$、$\mathbf v(0)=(v_{x0},v_{y0})$。式 (11) 的分量形式是

$$ \dot v_x=-\omega_cv_y,\qquad \dot v_y=\omega_cv_x. \tag{18} $$

因此速度解为

$$ \begin{aligned} v_x(t)&=v_{x0}\cos\theta-v_{y0}\sin\theta,\\ v_y(t)&=v_{x0}\sin\theta+v_{y0}\cos\theta, \\ \theta&=\omega_ct. \end{aligned} \tag{19} $$

再积分一次：

$$ \begin{aligned} x(t)&=x_0+\frac{v_{x0}}{\omega_c}\sin\theta \\&\quad+\frac{v_{y0}}{\omega_c}(\cos\theta-1),\\[4pt] y(t)&=y_0+\frac{v_{x0}}{\omega_c}(1-\cos\theta) \\&\quad+\frac{v_{y0}}{\omega_c}\sin\theta. \end{aligned} \tag{20} $$

相应圆心与半径为

$$ \boxed{ \begin{aligned} C_x&=x_0-\frac{v_{y0}}{\omega_c},\\ C_y&=y_0+\frac{v_{x0}}{\omega_c},\\ \rho&=\frac{\sqrt{v_{x0}^2+v_{y0}^2}}{|\omega_c|}. \end{aligned}} \tag{21} $$

这些“任意初始条件”有一个前提：球的初始自转必须与式 (3) 相容。准确地说，$\mathbf r_0$ 与 $\mathbf v_0$ 可以任意选取，而水平自转由无滑动条件确定；不能再把它独立指定成任意值。

图 3：转盘均为 60 rpm，球均为均匀实心球，三条轨道的周期都是 3.5 s。橙点为初始位置，绿色叉号为轨道圆心。所有初态都假定已经进入无滑动滚动。

从盘心出发的小球，为什么会绕回来？

设 $\mathbf r_0=0$、$\mathbf v_0=(v_0,0)$，且 $\Omega>0$。式 (20) 化成

$$ \begin{aligned} x(t)&=\rho\sin\theta,\\ y(t)&=\rho(1-\cos\theta),\\ \rho&=\frac{v_0}{\omega_c}. \end{aligned} \tag{22} $$

圆心是 $(0,\rho)$，所以轨道经过盘心；半个轨道周期后，球到达距盘心 $2\rho$ 的最远处；一个轨道周期后返回盘心。

这里的最远距离是 $2\rho$，不是 $\rho$。只有把轨道圆心和盘心区分开，才不会在判断小球是否越过盘边时漏掉这个因子 2。

什么时候恰好绕盘心转？

需要 $\mathbf C=0$。从式 (13) 得到条件

$$ \mathbf v_0=\omega_cJ\mathbf r_0. \tag{23} $$

它要求初速度沿圆盘切向，大小恰好等于 $|\omega_c|\thinspace|\mathbf r_0|$。这是许多圆轨道中的一个特殊成员。

6. 球本身到底怎么转？

把式 (3) 的水平部分左乘 $J$，可解出

$$ \boxed{\boldsymbol\omega_\parallel =\frac1a\left(\Omega\mathbf r+J\mathbf v\right).} \tag{24} $$

利用 $\mathbf r=\mathbf C+\mathbf s$、$J\mathbf v=-\omega_c\mathbf s$，还可写成

$$ \boldsymbol\omega_\parallel =\frac{\Omega}{a}\mathbf C +\frac{\Omega-\omega_c}{a}\mathbf s. \tag{25} $$

第一项是固定的矢量，第二项随轨道转动。一般而言，自转轴方向与自转角速度大小都会随时间变化。

如果轨道恰好以盘心为中心，则 $\mathbf C=0$，水平自转轴始终沿径向，自转角速度大小为

$$ |\boldsymbol\omega_\parallel| =\frac{|\Omega|\rho}{(1+\kappa)a}. \tag{26} $$

式 (6) 中力矩没有竖直分量，故 $\dot\omega_z=0$。在点接触模型里，竖直自转不影响接触点的瞬时速度，也不改变上述球心轨道；真实的有限接触斑则可能产生扭转阻力，使这个结论不再严格成立。

因此，“球心轨道回到起点”并不等于“球面上的每个花纹也回到初始朝向”。后者还涉及三维姿态的累计变化。

7. 换到跟着转盘转的参考系，会看到什么？

令 $\mathbf q=(X,Y)$ 为随盘转动坐标系中的球心位置，$R(\phi)$ 表示二维旋转矩阵，则

$$ \mathbf r=R(\Omega t)\mathbf q. \tag{27} $$

两次求导，有

$$ \begin{aligned} \dot{\mathbf r}&=R(\Omega t)(\dot{\mathbf q}+\Omega J\mathbf q),\\ \ddot{\mathbf r}&=R(\Omega t) \left(\ddot{\mathbf q}+2\Omega J\dot{\mathbf q}-\Omega^2\mathbf q\right). \end{aligned} \tag{28} $$

代入核心方程，得到

$$ \boxed{\begin{gathered} \ddot{\mathbf q}+(2-\alpha)\Omega J\dot{\mathbf q} \\ = (1-\alpha)\Omega^2\mathbf q. \end{gathered}} \tag{29} $$

这看起来比实验室方程复杂，但只是同一个运动的另一种描述。离心项与科里奥利项都出现了；摩擦和自转约束也依然存在，不能只拿“离心力向外”一句话判断最终运动。

更直观的写法是把实验室中的圆轨道变换过去：

$$ \begin{aligned} \mathbf q(t)&=R(-\Omega t)\mathbf C\\ &\quad+R\bigl((\omega_c-\Omega)t\bigr)\mathbf s_0. \end{aligned} \tag{30} $$

这是两个旋转矢量的叠加。对于实心球，两种角速度分别是 $-\Omega$ 与 $-5\Omega/7$，因此一般会出现花形曲线；经过 7 个转盘周期，两个矢量同时复位。

图 4：两个面板使用完全相同的初态及同一段 7 s 时间。实验室中轨道重复两圈，随盘坐标中形成闭合花形。这里没有新加任何力或修改运动。

如果 $\mathbf C=0$，式 (30) 只剩一个旋转项，这时才可以直接说“相对于转盘，球心以 $-5\Omega/7$ 绕盘心运动”。对于偏心轨道，不能把这个角速度当成球心绕盘心的统一角速度。

8. 为什么换成空心球，2/7 就变了？

一般球对称刚体满足

$$ \frac{\omega_c}{\Omega}=\frac{\kappa}{1+\kappa}. \tag{31} $$

球体模型	$\kappa$	$\omega_c/\Omega$	$T_c/T_d$
均匀实心球	$2/5$	$2/7$	$7/2$
均匀薄球壳	$2/3$	$2/5$	$5/2$

转动惯量越大，同样的摩擦力矩越难改变自转；为了同时满足滚动约束，平动方向的变化率也随之改变。结果就是 $\kappa$ 越大，轨道角速度比越大。

图 5：这是球对称惯量模型的函数曲线。图上其余点不表示都对应某个常见均匀球体；真正代入实验时，应使用被测球的实际质量分布。

真实乒乓球只能近似看作薄球壳；有液体填充物的球还可能存在内部流动，不能仅凭外形把它当成刚性实心球。圆柱、硬币的惯量张量和允许滚动方向不同，也不能只换一个 $\kappa$ 就套用整套球体公式。

9. “不会飞走”需要两个独立条件

9.1 静摩擦必须够用

由式 (5)、(11)，所需静摩擦大小为

$$ f=m|\omega_c|v_0=m\omega_c^2\rho. \tag{32} $$

若静摩擦系数为 $\mu_s$，必须满足

$$ \boxed{|\omega_c|v_0\le\mu_sg.} \tag{33} $$

这里的静摩擦是“按需要取值、存在上限”的约束力；并不是只要接触就始终等于 $\mu_smg$。超出上限以后会发生滑动，核心方程不再成立。

9.2 整个轨道必须落在圆盘范围内

在理想点接触模型下，最大盘心距离为

$$ r_{\max}=|\mathbf C|+\rho. $$

因此，需要

$$ \boxed{|\mathbf C|+\rho\lt D.} \tag{34} $$

这里检查的是接触点是否仍在水平盘面内。若希望整个球的水平投影也不靠近盘边，可采用更保守的实验余量 $|\mathbf C|+\rho+a<D$；真实边缘接触不能继续用无限平面的方程描述。

对从盘心出发的小球，$|\mathbf C|=\rho$，所以

$$ v_0\lt\frac{|\omega_c|D}{2}. \tag{35} $$

即使静摩擦完全够用，推得太快也会使理想圆轨道伸出盘外。标题里的“不飞走”描述的是合适条件下的现象，不是对任何初速度、任何圆盘大小的保证。

10. 算一个具体例子：60 rpm 的转盘

设圆盘半径 $D=0.15\ \mathrm m$，转速为 60 rpm；球为均匀实心球，质量 $m=0.020\ \mathrm{kg}$，半径 $a=0.010\ \mathrm m$。让球从盘心以 $v_0=0.10\ \mathrm{m/s}$ 向右出发，并预先满足纯滚动条件。

先换算转速：

$$ \Omega=60\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}} \times\frac{2\pi\ \mathrm{rad}}{\mathrm{rev}} \times\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s} =2\pi\ \mathrm{rad/s}. $$

于是

$$ \begin{aligned} \omega_c&=\frac{4\pi}{7}\ \mathrm{rad/s}\\ &\approx1.7952\ \mathrm{rad/s},\\ T_c&=3.50\ \mathrm s. \end{aligned} $$

轨道半径与最大盘心距离分别为

$$ \begin{aligned} \rho&=\frac{0.10}{1.7952}\ \mathrm m\\ &\approx0.05570\ \mathrm m,\\ r_{\max}&=2\rho\approx0.11141\ \mathrm m. \end{aligned} $$

所以轨道位于半径 15 cm 的圆盘以内，连保守的球体边缘余量也满足。所需摩擦为

$$ \begin{aligned} f&=m\omega_cv_0\approx3.59\times10^{-3}\ \mathrm N,\\ \mu_s&\ge\frac{\omega_cv_0}{g}\approx0.0183. \end{aligned} $$

这个摩擦系数要求仅对应本例的理想平稳滚动，不应当拿来代替对实际材料、表面粗糙度和放球过程的检查。

初始自转也不能漏掉。盘心处 $\mathbf u=0$，式 (24) 给出

$$ \boldsymbol\omega_{\parallel,0}=\frac{J\mathbf v_0}{a} =(0,10)\ \mathrm{rad/s}. $$

即球向右滚动所需的通常自转。若只给它一个水平平动速度，却完全不让它转，初始阶段就不是本节计算的状态。

11. 静摩擦不耗散，为什么小球总动能却会变化？

从式 (12) 已知球心速率不变，因此平动动能恒定。但球的转动动能未必恒定。总动能是

$$ E=\frac12m v^2+\frac12I|\boldsymbol\omega|^2. \tag{36} $$

将平动功率与转动力矩的功率相加：

$$ \begin{aligned} \dot E &=\mathbf f\cdot\mathbf v +\bigl((-a\mathbf k)\times\mathbf f\bigr)\cdot\boldsymbol\omega\\ &=\mathbf f\cdot\bigl(\mathbf v+a\mathbf k\times\boldsymbol\omega\bigr)\\ &=\boxed{\mathbf f\cdot\mathbf u}. \end{aligned} \tag{37} $$

接触点在实验室中有速度 $\mathbf u$，所以静摩擦对小球可以做功。与此同时，圆盘受到相反的接触力，其接触功率为 $-\mathbf f\cdot\mathbf u$。两个物体的接触功率之和为零，没有相对滑动导致的局部耗散，但能量可以从一个物体传给另一个物体。

恒速电机承担了维持圆盘转速所需的能量交换。不能同时假定“圆盘由电机恒速驱动”和“小球自身的总能量必须守恒”。

对本模型还可算出

$$ \dot E=m\omega_c\Omega\,\mathbf r\cdot\mathbf v. \tag{38} $$

一般偏心圆上，$\mathbf r\cdot\mathbf v$ 随时间变号，因此能量在一个轨道周期内往返交换。若圆轨道恰好以盘心为中心，$\mathbf r\perp\mathbf v$，这项功率才恒为零。

图 6：使用第 10 节的参数，并取竖直自转为零。平动动能固定为 0.10 mJ，总动能随转动动能变化，一个周期后恢复。曲线是理想模型结果，未包含真实滚动损耗。

从另一个角度，也能找到守恒组合。令球关于盘心竖直轴的总角动量为

$$ L_z=m(\mathbf r\times\mathbf v)_z+I\omega_z. $$

因为 $\dot L_z=(\mathbf r\times\mathbf f)_z$，式 (37) 等价于 $\dot E=\Omega\dot L_z$，所以在恒定 $\Omega$ 下

$$ E-\Omega L_z=\text{常数}. \tag{39} $$

守恒的是这个组合，而不是一般情形下小球的总动能 $E$。

12. 直接把不自转的小球放上去：先打滑，再滚动

若小球被放在非零半径处，初始既不平动也不自转，接触处的相对滑动速度为

$$ \begin{aligned} \mathbf s&=\mathbf v+aJ\boldsymbol\omega_\parallel-\Omega J\mathbf r,\\ \mathbf s_0&=-\Omega J\mathbf r_0. \end{aligned} \tag{40} $$

在简单的库仑滑动摩擦模型中，$\mathbf s\ne0$ 时

$$ \mathbf f_k=-\mu_kmg\frac{\mathbf s}{|\mathbf s|}. \tag{41} $$

它反对的是接触处的相对滑动，不一定反对球心在实验室中的运动。完整滑动过程应同时积分式 (5)、(6) 与位置方程，并在相对滑动消失且静摩擦足够时切换到滚动模型。

一个短时近似有助于理解结果：若打滑很快结束，其间盘面速度变化很小，可近似把接触附近看成匀速传送带。设摩擦冲量为 $\mathbf P$，则

$$ \Delta\mathbf v=\frac{\mathbf P}{m}, \qquad \Delta\boldsymbol\omega_\parallel=-\frac aI J\mathbf P. $$

因此相对滑动速度变化为

$$ \Delta\mathbf s =\left(\frac1m+\frac{a^2}{I}\right)\mathbf P. $$

令末态相对速度为零，得到

$$ \boxed{\mathbf v_f\simeq\mathbf v_i-\alpha\mathbf s_i.} \tag{42} $$

对于 $\mathbf v_i=0$、$\boldsymbol\omega_i=0$ 的放球动作，

$$ \mathbf v_f\simeq\alpha\Omega J\mathbf r_0 =\omega_cJ\mathbf r_0. \tag{43} $$

这恰好接近式 (23) 的绕盘心圆轨道条件。但这是接触位置和盘面速度近似不变的短暂打滑极限，不是任意放球过程的精确结论。

该近似给出的滑动时间量级为

$$ t_s\simeq\frac{\alpha|\mathbf s_i|}{\mu_kg}. \tag{44} $$

需要 $|\Omega|t_s\ll1$，且小球在这段时间内的位移足够小，才能合理地把盘面局部速度当常量。否则应求解完整的滑动动力学，并用真正进入滚动时的位置、速度来计算轨道。

13. 圆盘略微倾斜：为什么会出现横向漂移？

这一节单独改变几何条件：盘面是一个固定的倾斜平面，圆盘绕它自己的固定法线匀速转动。此处 $\mathbf k$ 改为盘面法线，所有二维矢量都位于盘面内。令重力沿盘面的分量加速度为 $\mathbf g_\parallel$。

平动方程成为

$$ m\dot{\mathbf v}=\mathbf f+m\mathbf g_\parallel. $$

重力通过球心，不改变式 (6) 的接触力矩。重新消去摩擦，得到

$$ \boxed{\dot{\mathbf v} =\omega_cJ\mathbf v+\frac{\mathbf g_\parallel}{1+\kappa}.} \tag{45} $$

试着找一个恒定的漂移速度 $\mathbf v_d$，使右边为零：

$$ \boxed{\mathbf v_d =\frac{J\mathbf g_\parallel}{\kappa\Omega}.} \tag{46} $$

这样 $\mathbf v-\mathbf v_d$ 又满足原来的旋转速度方程，所以总运动就是“一个圆周运动 + 圆心的匀速漂移”。

当 $\Omega>0$，漂移方向是下坡方向在盘面内逆时针转 $90^\circ$，而不是简单地沿下坡方向。如果球一开始静止，它的初始加速度仍然沿下坡；横向漂移是圆周振荡叠加后的平均运动，两者并不矛盾。

倾角为 $\beta$ 时，

$$ v_d=\frac{g\sin\beta}{\kappa|\Omega|}. \tag{47} $$

以实心球、60 rpm、倾角 $0.05^\circ$ 为例，得到 $v_d\approx3.41\ \mathrm{mm/s}$。即使只有很小的不水平，十秒钟内也可能产生厘米级漂移。

图 7：取倾斜盘面内的下坡方向为 x 正向，初速度为 (0.055, 0) m/s。虚线表示轨道圆心的匀速移动，曲线仍叠加着圆周运动。本图未包含滚动阻力。

式 (46) 在 $\Omega\to0$ 时看似发散，是因为“圆周运动 + 漂移”的分解在这个极限下不适合单独解释；应回到式 (45)。当圆盘不转时，直接得到通常的斜面滚动加速度 $\mathbf g_\parallel/(1+\kappa)$。

14. 理想闭合圆为什么在真实实验中会慢慢变形？

理想解不包含任何把不同初态吸引到同一条圆轨道的阻尼机制。初始速度稍微变化，就会换成附近的另一条圆；因此这里的“稳定圆轨道”不应理解成会自动恢复原半径的吸引态。

实际实验中至少有以下几种偏离来源。

偏离来源	对模型的影响
滚动阻力、接触变形	引入额外耗散力矩，轨道圆心与振幅可能缓慢变化
空气阻力	水平实际力不再只有接触摩擦，速率也可能改变
接触斑扭转阻力	竖直自转与接触动力学可能发生耦合
盘面倾斜、起伏	出现额外重力分量或法向载荷变化
摩擦上限不足	无滑动约束失效，需要切换到滑动模型
电机转速变化或盘可自由减速	$\Omega$ 不再是常量，需要额外方程

不能笼统地说“有摩擦就必然向外漂”或“有耗散就一定往盘心收缩”。Sokirko 等人的 1994 年研究 讨论了含耗散的运动，在其模型和参数范围内可出现先向中心移动、再向外展开的不同阶段。具体漂移方向与所采用的阻力模型、初态有关；这已经超出了式 (11) 的理想闭合圆。

如果只是电机的给定转速随时间变化、而其他假设保持不变，对式 (3) 重新求导便有

$$ \dot{\mathbf v} =\alpha\left(\Omega J\mathbf v+\dot\Omega J\mathbf r\right). \tag{48} $$

多出来的 $\dot\Omega$ 项说明：不能把恒速模型的圆轨道结论直接用于启动或停机过程。若圆盘本身自由转动，还要联立圆盘的转动方程。

15. 怎样做一次能够检验公式的实验？

建议先选坚硬、接近均匀的实心球与平整盘面，让转盘匀速运行并调平。使用固定在实验室中的俯视相机，盘面画一个标记用于测量转盘周期。轻推小球，待明显初始滑动结束后再选取轨迹数据。

1. 标定尺寸和时间。 用盘面上的已知长度把像素换成米，用视频时间戳得到每帧时刻，同时由盘面标记求 $\Omega$。
2. 拟合轨道圆心。 从球心坐标拟合 $\mathbf C$ 与 $\rho$。不要直接把转盘中心当成轨道圆心。
3. 测量轨道相位。 计算 $\phi(t)=\operatorname{atan2}(y-C_y,x-C_x)$，解开跨越 $\pm\pi$ 的跳变，再拟合 $\phi(t)=\phi_0+\omega_ct$。
4. 比较无量纲比值。 对均匀实心球检查 $\omega_c/\Omega$ 是否接近 $2/7$，并给出拟合误差。改变轻推速度，检查半径是否变化而角速度比近似不变。
5. 检查模型是否适用。 看 $|\mathbf r-\mathbf C|$ 和 $|\mathbf v|$ 是否近似恒定；若圆心持续漂移，先检查调平和滚动损耗。

还可以给球面做标记，测量自转并检验式 (24)。仅靠球心轨迹接近圆形，不能直接证明接触点已经无滑动。

下面给出可直接用于轨道拟合之后的两个诊断量：

$$ \epsilon_\rho(t)=|\mathbf r(t)-\mathbf C|-\rho, \qquad \epsilon_v(t)=|\mathbf v(t)|-v_0. $$

它们分别反映偏离圆形和偏离匀速的程度。实际视频位置求导会放大噪声，应优先使用平滑拟合并报告相机采样率，而不是把逐帧差分产生的抖动都解释为物理效应。

16. 可复现计算与结果核对

本文的七幅图由同一份程序生成，轨道来自解析解，另用 SciPy 数值积分独立检查。程序同时演化平动速度与自转角速度，并验证滚动约束、恒定速率、固定圆心和功率恒等式；还单独积分旋转参考系方程及倾斜盘面方程，与坐标变换和解析解比较。

• 下载绘图与数值验证程序
• 查看本次数值验证结果

程序覆盖 36 组牛顿—欧拉初值问题，每组取 241 个采样点，包含正转、反转、较慢转盘和多种转动惯量。断言要求各检查量按其 SI 单位计的最大绝对误差小于 $3\times10^{-8}$，实际残差记录在结果文件中。这些是理想方程的数值核对，不能替代真实接触材料与实验初态的验证。

下载程序后，安装 numpy、scipy、matplotlib，执行：

python figures-and-checks.py

中文图注优先使用微软雅黑或 Noto Sans CJK SC；若本机没有中文字体，需要先安装相应字体。独立下载运行时，图片输出到脚本旁的 rolling-ball-figures 文件夹，验证结果写入 validation.json。

17. 回看这个“悖论”

圆盘没有用某种神秘的向心吸引力把球锁住。真正起作用的是：球面接触点必须跟上运动盘面，而同一个静摩擦力既改变球心速度，又改变自转。 两套动力学与一个滚动约束联立，才产生了

$$ \ddot{\mathbf r}=\frac{I}{I+ma^2}\Omega\mathbf k\times\dot{\mathbf r}. $$

这个加速度只改变速度方向，因而产生匀速圆周运动；系数中的转动惯量，给均匀实心球留下了 $2/7$。

判断一次实际观察时，可以依次问：接触是否已进入无滑动滚动？镜头固定在哪个参考系？轨道圆心在哪里？静摩擦是否足够？圆轨道是否完整落在盘面内？这几个问题都回答清楚，“为什么没被甩出去”便不再矛盾。

参考资料

1. Klaus Weltner, Stable circular orbits of freely moving balls on rotating discs, American Journal of Physics 47(11), 984–986 (1979). DOI: 10.1119/1.11602；用户提供的全文 PDF。本文的主要历史文献；阅读时注意第 985 页式 (18)、(19) 的半径平方排印问题。
2. Steve Mould, The Turntable Paradox, 2022-11-28。用户提供的 B 站入口；原作者视频及说明。用于现象引入；本文未以逐帧视频数据拟合参数。
3. A. V. Sokirko, A. A. Belopolskii, A. V. Matytsyn, D. A. Kossakowski, Behavior of a ball on the surface of a rotating disk, American Journal of Physics 62, 151–156 (1994). 作者网站全文。用于区分理想无耗散圆轨道与真实滚动耗散引起的长期变化。

资料说明：B 站页面在本文整理时限制自动访问；视频对应关系由该作者其他视频的公开介绍交叉确认，核心理论以逐页核对的 Weltner 原论文及本文推导为依据。本文未转载论文原图，所有图均为原创；图中的参数示例不是实测数据。