数值孔径 NA：从收光锥角到分辨率、聚焦与光纤耦合

显微物镜上写着“40× / 0.65”，其中 40× 是放大倍率，0.65 是什么？一块聚焦透镜标注 NA = 0.5，是不是意味着它能收集一半的光？为什么油浸物镜的 NA 可以超过 1，而单模光纤即使“入射角小于接受角”，耦合效率仍然可能很低？

这些问题都指向同一个量：数值孔径，英文为 Numerical Aperture，缩写为 NA。它把光线传播方向与介质折射率联系起来，是连接几何光学、衍射理论和光纤导光的一座桥。

本文从最直观的光锥开始，逐步讨论 NA 如何决定“能接收哪些光”“能分开多近的细节”“能聚焦到多小”，再落到实验中怎样计算、测量和使用它。全文的数值图均由所列公式直接绘制，文末提供绘图脚本和数值核对结果。

1. 定义：NA 描述的是一个光锥

设一个轴上点向四周发光，光学系统只能接收到其中一部分方向的光。把最外侧能通过系统的光线绕光轴旋转，就得到一个接受光锥。

数值孔径的定义是

$$ \boxed{\mathrm{NA}=n\sin\theta.} $$

这里：

• $n$ 是定义这个光锥所在空间的介质折射率。对于显微物镜的物方 NA，它是样品与物镜之间相应物方介质的折射率，不是镜片玻璃的折射率。
• $\theta$ 是边缘光线与光轴的夹角，即光锥半角。完整开角为 $2\theta$。
• NA 没有单位。它既不是角度，也不是透镜直径。

这一定义及物方介质的含义可参见 Nikon MicroscopyU：Numerical Aperture。

图 1：三个图使用相同几何尺度。绿色线段表示有效孔径；从点光源出发看，NA 越大，能进入孔径的方向范围越宽。图中画的是光锥的二维截面。

空气中可近似取 $n=1$，于是

$$ \theta=\arcsin(\mathrm{NA}). $$

例如 NA = 0.50 对应半角 30°、全角 60°。把全角 60° 代入定义，会得到错误的 0.866。以后看到“发散角”“接受角”这些词，首先要确认对方用的是半角还是全角。

还要分清接受光锥和会聚光锥：前者从点源向外看，描述系统能收哪些方向；后者沿传播方向看，描述光以多大的角度会聚到焦点。在线性互易光学系统中，二者可以通过反向传播联系起来，但必须对应同一空间、同一孔径和同一传播路径。

2. 为什么要乘上折射率 n？

2.1 从几何角度看：NA 的上限是 n

因为 $\sin\theta\leq1$，对于均匀介质中的传播光，有

$$ 0\leq\mathrm{NA}\leq n. $$

所以空气中 NA 的理论上限接近 1；折射率大于 1 的介质中，NA 可以大于 1。这不意味着正弦函数超过了 1。

以半角 60° 为例，取示例折射率：

光锥所在介质	折射率 n	半角 θ	NA
空气	1.000	60°	0.866
水	1.333	60°	1.154
浸油	1.515	60°	1.312

这里的折射率仅用于演示，实际值随波长、温度和材料变化。浸没系统也需要与介质、盖玻片和样品条件匹配；给普通干物镜加一滴油，并不能把它变成设计合格的油浸物镜。

2.2 从波动角度看：NA 限定横向波矢

以下统一用 $\lambda_0$ 表示真空波长。介质中的波长和波数分别为

$$ \lambda=\frac{\lambda_0}{n},\qquad k=\frac{2\pi n}{\lambda_0}=nk_0, \qquad k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}. $$

沿着与光轴夹角为 $\theta$ 的方向传播时，波矢的横向分量为

$$ k_\perp=k\sin\theta =\frac{2\pi}{\lambda_0}n\sin\theta =\boxed{\frac{2\pi}{\lambda_0}\mathrm{NA}}. $$

这就解释了定义中为什么有折射率：NA 衡量的不是单纯的几何开角，而是系统允许通过的横向波矢范围。 更细的横向结构需要更大的横向空间频率，物镜只有收集到相应的传播方向，才可能把这些细节带到像中。

图 2：左图说明同一半角下 NA 随折射率增加；右图把 NA 换成横向波矢支持域，圆的半径为 NA。右图是光场的频谱孔径，不应直接当成非相干强度成像的传递函数。

2.3 为什么跨一个平面界面不能凭空增加 NA？

光通过法线与光轴平行的平面界面时，斯涅尔定律给出

$$ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2. $$

对于同一条透射光线，这个乘积保持不变。进入高折射率介质后，角度减小，并不是原有光线的横向波矢被无条件放大。

浸没系统的价值在于整个光学接触与物镜设计允许更多高角度分量被传输、接收。若中间留下空气隙，高于空气传播上限的横向波矢分量就不能作为普通传播波穿过它。真实样品存在折射率失配时，还会出现球差、透射损耗以及发射角分布变化；不能只替换一个 $n$ 就认为成像质量同比提高。

3. NA、孔径直径、焦距和 F 数是什么关系？

3.1 先写一个明确的几何模型

设点源到一个垂直光轴的圆形有效孔径平面的轴向距离为 $L$，孔径半径为 $a$。由直角三角形，

$$ \tan\theta=\frac{a}{L},\qquad \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{L^2+a^2}}, $$

因此该几何模型中

$$ \boxed{\mathrm{NA}=n\frac{a}{\sqrt{L^2+a^2}}.} $$

当 $a\ll L$ 时，才能近似为

$$ \mathrm{NA}\approx n\frac{a}{L}. $$

对于简单薄透镜、近轴聚焦且孔径可近似放在透镜平面的情形，进一步用 $L\approx f$、$D=2a$，得到熟悉的

$$ \mathrm{NA}\approx\frac{nD}{2f}. $$

空气中 F 数定义为 $N=f/D_{\mathrm{EP}}$，其中 $D_{\mathrm{EP}}$ 是入瞳直径。在远物、近轴等相应条件下，像方 NA 常用近似

$$ \mathrm{NA}_{\mathrm{image}}\approx\frac{1}{2N}. $$

有限共轭时还需要工作 F 数及瞳放大率等信息。厂商对 F 数、工作 F 数与通光量的说明可参考 Edmund Optics：System Throughput, f/#, and Numerical Aperture。

图 3：这里的“几何值”仅针对点源到平面孔径的模型。右图以几何值为分母计算近轴近似的相对高估。高角度时，应回到实际光线几何或物镜设计参数。

3.2 一个容易误用的高 NA 例子

若 $a=L$，半角为 45°，空气中的几何 NA 为

$$ \mathrm{NA}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.7071. $$

而直接使用 $a/L$ 会给出 1，相对高估约 41.4%。

不过，也不能把上面的平面孔径公式当成所有复杂物镜的“高 NA 精确公式”。显微物镜有多个折射面、入瞳和出瞳；对满足正弦条件的特定物镜，后焦瞳坐标与物方角度又有相应的正弦映射关系。镜筒外径、前镜片直径、有效瞳径、工作距离和焦距，是不同的量。 应优先使用厂家定义的物方 NA，或者在实际系统中追迹边缘光线。

对于理想的有限共轭成像系统，近轴光学不变量还给出

$$ \mathrm{NA}_{\mathrm{object}} \approx |M|\,\mathrm{NA}_{\mathrm{image}}, $$

其中 $M$ 为横向放大率。这说明同一套成像系统的物方 NA 与像方 NA 通常不同，不能把物镜标注的物方 NA 直接用于传感器平面上的光斑公式。

4. NA 为什么影响分辨率？从圆孔衍射推导

4.1 一个点不会成像成数学上的点

即使没有像差，有限孔径也会引起衍射。理想点源通过成像系统之后形成一个有限宽度的分布，称为点扩散函数，即 PSF。

先采用一个清楚的基准模型：单色光、无像差、均匀照明的圆形瞳孔、标量衍射，并把坐标折算到定义 NA 的同一空间。设瞳孔归一化半径为 $\rho\in[0,1]$，焦平面或折算物平面的径向坐标为 $r$。圆对称孔径的二维傅里叶变换可化成

$$ \frac{U(r)}{U(0)} =2\int_0^1\rho J_0(v\rho)\,\mathrm d\rho, \qquad v=\frac{2\pi\mathrm{NA}}{\lambda_0}r. $$

这里 $J_0$ 和下面的 $J_1$ 是第一类贝塞尔函数。利用

$$ \int_0^1\rho J_0(v\rho)\,\mathrm d\rho=\frac{J_1(v)}{v}, $$

得到场振幅和强度分布

$$ \frac{U(r)}{U(0)}=\frac{2J_1(v)}{v},\qquad \boxed{\frac{I(r)}{I(0)}=\left[\frac{2J_1(v)}{v}\right]^2.} $$

在 $v=0$ 处按极限取值为 1。这个分布就是艾里图样：中央亮斑外面伴随一圈圈衍射环。

图 4：左图将各曲线的峰值都归一化为 1，只比较宽度，不能用它比较实际亮度或总功率。右图使用对数色标，目的是显示较弱的衍射环。

4.2 艾里斑的半径、直径和 FWHM 是三件事

$J_1(v)$ 的第一个正零点为 3.8317，因此第一暗环半径满足

$$ \frac{2\pi\mathrm{NA}}{\lambda_0}r_0=3.8317, \qquad \boxed{r_0\approx0.61\frac{\lambda_0}{\mathrm{NA}}.} $$

而中央亮斑的第一暗环直径为

$$ D_{\mathrm{Airy}}=2r_0\approx1.22\frac{\lambda_0}{\mathrm{NA}}. $$

若使用强度截线的半高全宽，则解 $I(r)/I(0)=1/2$ 后再把半宽乘以 2，可得

$$ \mathrm{FWHM}_{I}\approx0.5145\frac{\lambda_0}{\mathrm{NA}}. $$

所以只说“光斑大小是 0.6 微米”并不完整，必须补充是第一暗环半径、第一暗环直径，还是强度 FWHM。

4.3 瑞利判据：为什么系数又是 0.61？

考虑两个等强、互不相干的点源。它们的像强度相加。瑞利判据约定：当一个点的主峰恰好落在另一个点的第一暗环处，视为达到某种“刚可分辨”状态。因此点间距为

$$ \boxed{d_{\mathrm R}\approx0.61\frac{\lambda_0}{\mathrm{NA}}.} $$

这个数值与单点艾里斑第一暗环半径相同，但物理定义不同。它也不是在任何信噪比、任何物体、任何重建方法下都不可跨越的绝对界限。关于不同分辨率表达式及其使用条件，可对照 Nikon MicroscopyU：Resolution。

图 5：虚线表示两个单点 PSF，实线为强度之和。若两束光相干，就必须先相加复振幅再取模平方，不能照搬此图。

例如 $\lambda_0=550\mathrm{nm}$：

NA	瑞利间距 dR	艾里斑第一暗环直径	强度 FWHM
0.25	1.342 μm	2.684 μm	1.132 μm
0.50	0.671 μm	1.342 μm	0.566 μm
0.80	0.419 μm	0.839 μm	0.354 μm

这些是上述标量圆瞳模型的数值。高 NA、强偏振效应、界面失配或明显瞳面非均匀照明下，应使用矢量衍射或实际 PSF，而不应把这些系数当作无条件精确结果。

5. 阿贝公式、相干截止频率和非相干截止频率

另一个常见公式是

$$ d_{\mathrm A}\sim\frac{\lambda_0}{2\mathrm{NA}}. $$

为什么这里是 0.5，而瑞利公式里是 0.61？因为讨论的对象与判据不同。一个针对周期结构与频谱传递，一个针对两个点的像强度分布。

5.1 相干成像：传递的是复振幅

用 $\nu$ 表示空间频率，单位为“周期/长度”。由 $k_\perp=2\pi\nu$，轴上相干照明、理想圆瞳系统的振幅传递支持域满足

$$ |\boldsymbol\nu|\leq\frac{\mathrm{NA}}{\lambda_0}. $$

因此相干振幅截止频率为

$$ \nu_{c,\mathrm{coh}}=\frac{\mathrm{NA}}{\lambda_0}. $$

5.2 非相干成像：传递的是强度

荧光宽场成像中，不同发光点通常可以按互不相干处理。强度点扩散函数是振幅 PSF 的模平方，其傅里叶变换——光学传递函数 OTF——与瞳函数的自相关有关。

两个半径为 $\mathrm{NA}/\lambda_0$ 的频谱圆，自相关支持域的半径为原来的两倍，所以

$$ \boxed{\nu_{c,\mathrm{incoh}}=\frac{2\mathrm{NA}}{\lambda_0}.} $$

对应的截止周期为 $\lambda_0/(2\mathrm{NA})$。但是在截止处，理想系统的调制度已经降到零；“频谱支持延伸到这里”不代表这个周期的弱细节在实验中仍有可见对比度。

5.3 透射显微镜还要看照明 NA

斜入射照明可以移动样品散射频谱相对于接收瞳孔的位置。在相应的透射成像频谱支持分析中，能够涉及的横向频率范围与

$$ \nu_{\max}\sim \frac{\mathrm{NA}_{\mathrm{illum}}+\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}}{\lambda_0} $$

有关。两者相等时给出熟悉的 $2\mathrm{NA}/\lambda_0$ 尺度。实际部分相干成像还依赖光源分布、样品振幅与相位特性、对比度判据；这个支持范围并不是任意样品都能达到的万能分辨率。

因此，计算之前要说明是在讨论两点、周期条纹、相干场还是非相干强度。关于这些判据的系统讨论，可参见 Latychevskaia：相干与非相干成像的横向及轴向分辨率判据。

6. NA 能收集多少光？从立体角直接算

假设点源在均匀介质中向全空间各向同性发射，一个单侧光学系统收集半角为 $\theta$ 的圆锥。用球坐标积分，圆锥立体角为

$$ \Omega=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\phi \int_0^\theta\!\sin\vartheta\,\mathrm d\vartheta =2\pi(1-\cos\theta). $$

全空间立体角为 $4\pi$，所以几何收光比例为

$$ \eta_\Omega=\frac{\Omega}{4\pi} =\frac{1-\cos\theta}{2} =\boxed{\frac{1-\sqrt{1-(\mathrm{NA}/n)^2}}{2}}. $$

注意这里除以的是全空间的 $4\pi$。如果把“向前半球发出的光”定义为分母，比例会比这里大一倍。

图 6：空气中 NA = 0.50 的几何收光率约为 6.70%，并不是 50%。NA 接近 1 时，单侧系统趋近于覆盖半个空间，收光比例趋近 50%。

在小 NA 下，利用 $\sqrt{1-x}\approx1-x/2$ 得到

$$ \eta_\Omega\approx\frac{\mathrm{NA}^2}{4n^2}. $$

这解释了为什么低 NA 区域中，把 NA 加倍，点源几何收光量大致提高四倍。但这只适用于相同介质、相同发射模型等条件，高 NA 时要用完整表达式。

还有一个细节：相同 NA 在不同介质中不对应相同几何收光比例。 同样 NA = 0.50，空气中半角为 30°；在 $n=1.5$ 的均匀介质中，半角仅约 19.47°，各向同性几何收光率约 2.86%。横向波矢范围由 NA 决定，而几何立体角由 $\mathrm{NA}/n$ 决定。

实际荧光计数还差哪些因子？

最简单的探测预算是

$$ R_{\mathrm{det}}=R_{\mathrm{emit}} \eta_\Omega T_{\mathrm{opt}} \eta_{\mathrm{couple}}\eta_{\mathrm{QE}}. $$

其中依次包含发射速率、几何收光率、光路透过率、耦合效率和探测器量子效率。

例如空气中 NA = 0.50，点源每秒发射 $10^7$ 个光子，光路透过率为 0.70，耦合效率为 0.80，量子效率为 0.30，则

$$ R_{\mathrm{det}}\approx10^7\times0.06699\times0.70 \times0.80\times0.30 \approx1.13\times10^5\ \mathrm{s}^{-1}. $$

这是忽略背景和探测器死时间的示例预算。原子、离子或分子的发光可能具有偶极辐射方向性；若单位立体角辐射功率为 $P(\vartheta,\phi)$，应改为

$$ \eta_\Omega= \frac{\int_{\mathrm{accepted}}P(\vartheta,\phi)\,\mathrm d\Omega} {\int_{4\pi}P(\vartheta,\phi)\,\mathrm d\Omega}. $$

存在界面时还需加入角度和偏振相关的透射。不能把各向同性结果不加说明地套到任何单离子、单分子或界面附近的发射体上。

7. 激光聚焦：物镜 NA 与实际照明 NA

7.1 高斯束没有硬边界

理想基模高斯束在束腰平面的强度为

$$ I(r)=I_0\exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2}\right). $$

$w_0$ 是强度下降到轴上值 $1/e^2$ 时的半径。这不同于艾里斑的第一暗环半径。

均匀介质中，近轴理想高斯束的远场 $1/e^2$ 强度半角为

$$ \theta_G\approx\frac{\lambda_0}{\pi n w_0}. $$

定义与这个角宽相对应的有效 NA：

$$ \mathrm{NA}_{\mathrm{eff}}=n\sin\theta_G \approx n\theta_G, \qquad \boxed{w_0\approx\frac{\lambda_0}{\pi\mathrm{NA}_{\mathrm{eff}}}.} $$

它描述的是高斯光束的角分布尺度。物镜的标称 NA 描述其接受光锥，二者不是自动相等的量。

7.2 为什么高 NA 物镜不一定聚出很小的光斑？

一束很细的准直光只照亮物镜瞳孔中央，高角度区域几乎没有被利用。这叫欠填充。在空气中、弱截断、近轴薄透镜聚焦条件下，若透镜处高斯光束半径为 $w_L$，则

$$ \mathrm{NA}_{\mathrm{eff}}\approx\frac{w_L}{f}, \qquad w_0\approx\frac{\lambda_0 f}{\pi w_L}. $$

例如波长 532 nm、焦距 10 mm：

透镜处 1/e² 强度半径 wL	近轴有效 NA	理想束腰半径 w0
0.5 mm	0.05	3.39 μm
1.0 mm	0.10	1.69 μm
2.0 mm	0.20	0.85 μm

表格是在孔径足够大、截断较弱等条件下的估计，不能据此断言实际高 NA 系统严格遵循同样的近轴映射。实际设计要检查后瞳填充和波前质量。

若圆孔半径为 $a$，高斯束半径为 $w_L$，孔内功率比例为

$$ \frac{P(r\lt a)}{P_{\mathrm{total}}} =1-\exp\left(-\frac{2a^2}{w_L^2}\right). $$

当 $a=w_L$ 时，仅约 86.5% 的光功率通过。增加填充可以利用更多高角度分量，但也可能增大截断损失、改变旁瓣。因此“扩束越大越好”同样不成立。

高斯光束传播参数及其定义可参考 Edmund Optics：Gaussian Beams Calculator。对于真实光束，$M^2$ 还描述束宽与发散的乘积；只有在统一的二阶矩束宽定义下，才能严格使用相应的 $M^2$ 传播关系。非高斯束不应把二阶矩半径与拟合得到的 $1/e^2$ 半径混用。

8. NA 越大，为什么焦点越“薄”？

8.1 用高斯束得到一个有明确定义的轴向尺度

对于上节的理想近轴高斯束，瑞利长度为

$$ z_R=\frac{\pi n w_0^2}{\lambda_0},\qquad w(z)=w_0\sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^2}. $$

在 $z=\pm z_R$ 处，半径增大到 $\sqrt2w_0$，轴上强度下降到焦点处的一半。将束腰与有效 NA 的关系代入，可得

$$ z_R\approx\frac{n\lambda_0}{\pi\mathrm{NA}_{\mathrm{eff}}^2}, \qquad \boxed{b=2z_R\approx\frac{2n\lambda_0}{\pi\mathrm{NA}_{\mathrm{eff}}^2}.} $$

$b$ 叫共焦参数；在这个理想模型中，它也是轴上强度的轴向 FWHM。

图 7：空气中 532 nm 的理想近轴高斯束。更大的有效 NA 带来更小的束腰，也带来更快的离焦扩展。右图使用两个纵轴，分别标注横向半径与轴向共焦参数。

从 NA = 0.10 增加到 0.20，束腰半径从约 1.69 μm 降到 0.85 μm，共焦参数则从约 33.9 μm 降到 8.47 μm。横向改善两倍，轴向范围缩小四倍。

8.2 显微景深不能直接等同于高斯共焦参数

成像中的景深是物体沿轴向移动后仍满足某个“可接受清晰度”判据的范围；像方对应的概念通常称焦深。它们与高斯束共焦参数的定义并不相同。

可以从离焦相位理解共同的尺度。轴向位移 $\Delta z$ 在轴向光线与边缘光线之间引入相位差，其幅值约为

$$ |\Delta\phi|=\frac{2\pi n}{\lambda_0}|\Delta z|(1-\cos\theta). $$

在小角度下，$1-\cos\theta\approx\mathrm{NA}^2/(2n^2)$，因此固定离焦相位容限意味着

$$ \Delta z\propto\frac{n\lambda_0}{\mathrm{NA}^2}. $$

这是常见的衍射景深尺度。具体前因子取决于采用半宽还是全宽、允许的像质下降、照明方式、检测方式和像素尺寸。高 NA 时还不能随意把 $1-\cos\theta$ 换成小角度展开。关于显微物镜景深中衍射项与几何项的区分，可参考 Nikon MicroscopyU：Properties of Microscope Objectives。

9. 光纤中的 NA：从折射与全反射推导

9.1 阶跃型光纤的接受角

考虑直的、阶跃型光纤，纤芯折射率为 $n_1$，包层折射率为 $n_2\lt n_1$，端面外介质折射率为 $n_0$。先讨论经过光纤轴线的子午光线，并假设端面垂直光轴。

设外部入射光与轴线夹角为 $\theta_a$，纤芯内与轴线夹角为 $\alpha$。端面的折射定律给出

$$ n_0\sin\theta_a=n_1\sin\alpha. $$

侧壁入射角是相对于侧壁法线定义的，所以 $i=\pi/2-\alpha$。全反射条件为

$$ \sin i\geq\frac{n_2}{n_1} \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha\geq\frac{n_2}{n_1}. $$

于是

$$ \sin^2\alpha\leq1-\frac{n_2^2}{n_1^2}, \qquad n_0\sin\theta_a\leq\sqrt{n_1^2-n_2^2}. $$

在存在可达临界接受角的通常情况下，得到阶跃型光纤的材料 NA：

$$ \boxed{\mathrm{NA}_{\mathrm{fiber}} =\sqrt{n_1^2-n_2^2} =n_0\sin\theta_{a,\max}.} $$

如果材料表达式大于外界折射率 $n_0$，外部传播光的半角仍不能超过 90°；此时不能把大于 1 的比值直接送进反正弦函数。

上述推导是几何光学的子午光线模型，不意味着所有光纤的远场都有一个绝对锋利的角度边界。有限模式数、弯曲、模式激励方式及实测角宽定义都会影响结果。阶跃型多模光纤的基本导光模型可参见 Thorlabs：Multimode Fiber Tutorial。

图 8：左图的角度示意未按具体材料参数绘制。θa 和 α 相对于轴线定义，i 相对于侧壁法线定义。右图假设两个同轴、同偏振的高斯模式在同一平面具有平坦波前，只改变束腰尺寸。

例如取 $n_1=1.460$、$n_2=1.455$，则

$$ \mathrm{NA}_{\mathrm{fiber}}\approx0.1207. $$

在空气中对应接受半角约为 6.93°，全角约为 13.87°。将端面置于不同外部介质中，材料 NA 在此模型下不变，而外部接受角随 $n_0$ 改变。

9.2 NA 如何影响模式数？

对芯半径为 $a$ 的圆形阶跃型光纤，定义归一化频率

$$ \boxed{V=\frac{2\pi a}{\lambda_0}\mathrm{NA}_{\mathrm{fiber}}.} $$

在常用的弱导近似下，$V\lt2.405$ 对应仅支持基空间模；两个偏振自由度并不因此消失。大 $V$ 时，包含偏振简并的导模数可粗估为 $V^2/2$，但这个大模数估计不能拿来判断截止附近的精确模式数。

采用上面的 NA、芯半径 2.0 μm、波长 780 nm，可得 $V\approx1.945$，处于该模型的单空间模范围。这个条件不能原样推广到任意微结构光纤、强导波导或其他折射率剖面。

10. 为什么满足光纤 NA 仍然耦合不好？

多模光纤的耦合常可先用“光斑是否进入纤芯、角分布是否被接受”来估计。单模光纤则需要把入射场投影到一个特定导模上。

设端面入射复电场为 $E_{\mathrm{in}}$，目标模式为 $E_f$，则在适用的标量模式近似中，理想功率耦合效率为

$$ \eta_{\mathrm{mode}}= \frac{\left|\iint E_{\mathrm{in}}E_f^*\,\mathrm dA\right|^2} {\left(\iint|E_{\mathrm{in}}|^2\,\mathrm dA\right) \left(\iint|E_f|^2\,\mathrm dA\right)}. $$

它同时对光斑尺寸、横向位置、波前曲率、倾角以及偏振敏感。即使光线角度看起来合适，只要场分布不匹配，投影就会变小。

以两个同轴、同偏振、在端面共同成腰的归一化高斯场为例，取

$$ E_w(r)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac1w e^{-r^2/w^2}. $$

径向重叠积分为

$$ A=\int_0^\infty E_w(r)E_{w_f}(r)\,2\pi r\,\mathrm dr =\frac{2ww_f}{w^2+w_f^2}, $$

于是

$$ \boxed{\eta_{\mathrm{mode}}= \left(\frac{2ww_f}{w^2+w_f^2}\right)^2.} $$

当 $w=w_f$ 时，此理想模型给出 100%；如果束腰大一倍或小一倍，效率都降到 64%，还没有计入任何反射或其他失配。

对近高斯单模场，若模场直径 $\mathrm{MFD}=2w_f$，其远场角宽对应的近轴有效 NA 为

$$ \mathrm{NA}_{G}\approx\frac{\lambda_0}{\pi w_f} =\frac{2\lambda_0}{\pi\,\mathrm{MFD}}. $$

这个由模场角宽定义的有效 NA，不必等于由纤芯和包层折射率算出的材料 NA。 厂商的单模耦合说明也特别提醒，不应仅用标称 NA 估算单模光纤发射或接收的光锥；应结合工作波长的 MFD。参见 Thorlabs：Single Mode FC/PC Fiber Optic Patch Cables，相关耦合说明。

因此调单模耦合时，除了让光斑落在纤芯附近，还要调束腰大小、束腰位置、横向位置和入射方向，并检查偏振与波前质量。

11. 实验中怎样判断和测量 NA？

11.1 先确认你想测哪个 NA

“测 NA”可能指三个不同任务：测系统的边缘接受光锥、测某束光的实际角分布，或者测光纤在指定准则下的输出角宽。第一种可以有明确几何边界，后两种往往需要给出强度阈值或包围功率比例。

方法	基本做法	必须注意
孔径几何	确定点与有效瞳的位置，测半径 a 和轴向距离 L	用有效瞳，不用镜筒外径；复杂物镜要考虑瞳位置
远场角分布	在已知距离测光斑或用傅里叶透镜测角谱	说明远场条件，以及 1/e²、5% 峰值或包围功率等判据
PSF 测量	用足够小的点源、针孔或荧光珠测强度分布	像素卷积、点源尺寸、像差和离焦会共同展宽 PSF
瞳面观察	观察后瞳填充、截断、偏心及遮挡	需知道瞳坐标与物方角度的映射，才可定量换算

例如对一个位于已知参考原点、符合远场条件的出射光束，在轴向距离 $L$ 处测得某一明确判据下的半径 $r$，有

$$ \theta=\arctan\frac rL, \qquad \mathrm{NA}=n\frac r{\sqrt{L^2+r^2}}. $$

对高斯束，单平面测量容易受到束腰位置不明和近场效应影响。更稳妥的做法是在多个轴向位置测量束宽，拟合传播规律，再取远场发散角。

11.2 相机采样会限制你看到的分辨率

相机像素尺寸为 $p$、总横向放大率为 $|M|$ 时，物方采样间隔为

$$ \Delta x_{\mathrm{obj}}=\frac p{|M|}. $$

对理想非相干圆瞳系统，如果希望按奈奎斯特条件覆盖到光学截止频率，需满足

$$ \frac p{|M|}\leq\frac1{2\nu_{c,\mathrm{incoh}}} =\boxed{\frac{\lambda_0}{4\mathrm{NA}}.} $$

这是采样频率条件，不等于保证像素孔径、噪声和实际像质都足够好。

例如像素为 6.5 μm，波长 550 nm，NA = 0.65，则右侧为约 0.2115 μm。40 倍总放大率对应 0.1625 μm/像素，满足这一采样条件；20 倍对应 0.325 μm/像素，则不能完整采样到该理想截止频率。这也说明放大倍率虽然不直接改善物镜的衍射极限，却影响探测器能否把已有细节记录下来。

12. 三个把公式真正用起来的例子

例一：读懂“40× / 0.65”

假设这是空气物镜，物方 NA = 0.65。接受半角为

$$ \theta=\arcsin(0.65)\approx40.54^\circ. $$

在 550 nm、理想标量圆瞳基准下，物方瑞利间距约为

$$ d_{\mathrm R}\approx\frac{0.61\times550}{0.65}\,\mathrm{nm} \approx516\,\mathrm{nm}. $$

40× 决定这些物方距离如何放大到像面。若 40× 就是完整系统的总放大率，则 516 nm 对应像面约 20.6 μm。对于无限远校正物镜，实际放大率还与配套管镜焦距有关。

例二：为什么同样直径的收光镜，放近一点更有效？

用点源到平面孔径的简化模型，设有效直径为 25 mm、空气中轴向距离为 30 mm，即 $a=12.5\mathrm{mm}$，得到

$$ \mathrm{NA}=\frac{12.5}{\sqrt{30^2+12.5^2}} =\frac5{13}\approx0.3846. $$

各向同性几何收光率为 $(1-12/13)/2\approx0.03846$，即约 3.85%。如果把轴向距离增加到 60 mm，NA 降到约 0.2040，收光率降到约 1.05%。

这说明距离很关键，但真实系统里还必须检查收光镜焦点、视场、真空窗、机械遮挡与像差。这个计算是接受立体角估计，并不能代替成像光路设计。

例三：给单模光纤选聚焦尺度

假设工作波长 780 nm、目标模场直径 5.0 μm，则 $w_f=2.5\mu\mathrm m$。近高斯模式的角宽尺度为

$$ \mathrm{NA}_{G}\approx\frac{0.780}{\pi\times2.5}\approx0.0993. $$

若准直输入束的 $1/e^2$ 强度半径为 1.0 mm，在空气中的弱截断、近轴模型下，可先估算

$$ f\approx\frac{\pi w_Lw_f}{\lambda_0}\approx10.1\,\mathrm{mm}. $$

这只是匹配尺度的起点。最终效率还取决于透镜像差、镀膜、端面位置、偏振和精密对准。目标是把模式匹配好，不能把“透镜标称 NA 比光纤标称 NA 大”当作耦合完成的判据。

13. 常见误区与公式速查

常见说法	应怎样理解
“NA 就是透镜直径。”	它是 n sinθ，孔径大小与距离共同决定光锥。
“NA = 0.5 就收集 50% 的光。”	空气中各向同性点源的单侧几何收光率约为 6.70%。
“NA 一定小于 1。”	均匀介质中传播光的上限是 n；浸没物镜可以超过 1。
“放大倍率越高，分辨率一定越好。”	物镜的衍射尺度主要看波长、NA 和成像条件；还要检查相机采样。
“D/(2f) 是任何透镜都适用的精确 NA。”	它通常是近轴估计；瞳位置、物像方和实际光线角度不能省略。
“0.61λ/NA 是光斑直径。”	在标量圆瞳模型中，它是第一暗环半径，也是瑞利两点间距。
“把介质中的波长再除以 NA 就行。”	NA 已含 n；本文公式使用真空波长，避免重复计入折射率。
“高 NA 物镜一定用到了全部 NA。”	欠填充、遮挡、瞳面分布及像差会影响实际表现。
“光纤接受角以内的光都会高效进入单模。”	单模耦合还要求复电场与目标导模重叠。
“NA 越大，在任何任务里都越好。”	更高分辨率常伴随更短景深、更严的对准与像差容限，实际要按任务权衡。

最后把常用公式放在同一张表里；使用前先检查第三列。

物理量	公式	条件与定义
数值孔径	$\mathrm{NA}=n\sin\theta$	θ 是光锥半角；明确物方或像方
横向波矢上限	$k_{\perp,\max}=2\pi\mathrm{NA}/\lambda_0$	均匀介质中的传播波
平面孔径几何	$\mathrm{NA}=na/\sqrt{L^2+a^2}$	点源到有效圆孔的指定几何模型
瑞利间距	$d_R\approx0.61\lambda_0/\mathrm{NA}$	等强非相干点源，标量无像差均匀圆瞳
强度 FWHM	$0.5145\lambda_0/\mathrm{NA}$	同上，单点艾里 PSF 截线的全宽
非相干截止频率	$2\mathrm{NA}/\lambda_0$	理想圆瞳强度成像；截止处对比度为零
单侧几何收光率	$[1-\sqrt{1-(\mathrm{NA}/n)^2}]/2$	均匀介质，各向同性点源，以 4π 为分母
高斯束腰半径	$w_0\approx\lambda_0/(\pi\mathrm{NA}_{\mathrm{eff}})$	理想近轴高斯束；1/e² 强度半径
高斯共焦参数	$2z_R\approx2n\lambda_0/(\pi\mathrm{NA}_{\mathrm{eff}}^2)$	同上；不等同于任意成像景深
阶跃型光纤 NA	$\sqrt{n_1^2-n_2^2}$	材料 NA；接受角解释有相应几何条件
光纤 V 参数	$V=2\pi a\mathrm{NA}/\lambda_0$	圆形阶跃型光纤；弱导单模判据 V < 2.405

理解 NA 的关键，是把它对应到具体光学空间中的光锥，再追问这束光的角分布、相干性、瞳面照明与检测方式。同一个符号因此可以连接收光、分辨率、聚焦和导光，但每条公式都有自己的测量对象与适用条件。

14. 参考资料与可复算附件

本文的推导与示例按明确模型展开；以下资料用于对照定义、成像判据及厂商对光纤参数的说明。图 1—8 为本文自行绘制，未复制参考资料中的插图。

1. Nikon MicroscopyU — Numerical Aperture：定义、物方折射率与浸没系统。
2. Nikon MicroscopyU — Resolution：艾里图样与不同分辨率表达式。
3. Nikon MicroscopyU — Properties of Microscope Objectives：物镜参数、景深与工作距离。
4. Edmund Optics — System Throughput, f/#, and Numerical Aperture：F 数、工作 F 数与通光量。
5. Edmund Optics — Gaussian Beams Calculator：高斯束参数的定义与计算。
6. Thorlabs — Multimode Fiber Tutorial：阶跃型多模光纤的基本导光和接受角模型。
7. Thorlabs — Single Mode FC/PC Fiber Optic Patch Cables：单模场、MFD 与耦合相关说明。
8. T. Latychevskaia — Lateral and axial resolution criteria in incoherent and coherent optics and holography, near- and far-field regimes：不同相干条件下的分辨率判据讨论。

附件：绘图与数值核对脚本 · 数值核对结果。

脚本依赖 Python、NumPy、SciPy 和 Matplotlib，在仓库中执行 python source/downloads/numerical-aperture/figures-and-checks.py 即可重建八张图。若单独下载脚本，可调整其中的输出目录 OUT；中文字体可替换为本机安装的字体。核对内容包括立体角积分、圆瞳傅里叶积分、贝塞尔零点、艾里强度 FWHM、高斯模式重叠，以及光纤折射与全反射关系。