实验中，一个原本正常散射 369 nm 荧光的 $^{172}\mathrm{Yb}^{+}$ 突然变暗，可能意味着离子进入了未被有效回泵的内部态，也可能意味着离子被加热、离开探测区域或已经丢失。本文集中研究一个明确的假设：离子与背景气体反应后，形成了仍被阱束缚的分子离子。怎样通过囚禁频率测出它的质量，并判断它可能是什么分子？

这个思路可行，但实验链条必须完整：先建立暗粒子仍被囚禁的证据，再通过可见的探针离子读出运动，最后用正确的耦合模型把共振频率换算成质量。电场运动主要测量的是质量与电荷的关系；只有明确电荷态并结合化学背景，才能把一个质量峰关联到具体分子。

本文以实验常用的 $^{172}\mathrm{Yb}^{+}$ 为亮离子，分别讨论单离子、双离子和多离子变暗。实验室提供的轴向囚禁频率约为 448.25 kHz；下文将它解释为同一工作点下单个 $^{172}\mathrm{Yb}^{+}$ 的轴向频率 $f_0$，或理想谐势中全为该同位素的离子链的质心模频率。如果这个数值实际对应其他集体模，必须先换算或重新标定，不能直接代入。分子离子的频率、振型、间距以及模拟测量读数均为模型计算，不是已观测到分子的实测证据；1 MHz 径向频率仍仅为独立的演算设置。电激励接线和常规扫频方法可先参阅《如何在线性刀片阱中测量离子囚禁频率》。

1. 阱频能告诉我们什么

分子离子的质心仍是一个带电粒子。只要其运动幅度足够小、外场可以局部近似为二次势，其质心振动频率由质量、电荷、阱的曲率及库仑耦合决定。分子内部的振动、转动频率与这里的 kHz–MHz 质心世俗频率是不同的物理量。

假设反应保持单电荷，并保留原来的镱核，则

$$ ^{172}\mathrm{Yb}^{+}\longrightarrow {}^{172}\mathrm{Yb}X^{+} $$

会使质量增加，而电荷仍为 $+e$。在固定的阱参数下，相应运动频率通常下降。可是“频率降低了百分之几”并没有通用的质量换算：单离子轴向、RF 主导的单离子径向、双离子的集体模，具有不同的质量依赖。

建议把结论分成三个层次：

层次 所需证据 可以写出的结论
暗带电粒子仍存在 亮探针的位置、晶体构型和运动谱支持额外电荷存在 阱中保留了一个暗离子
测得质量 已知电荷态、已校准的势阱、正确的正常模模型及误差预算 暗离子质量为 $M\pm\sigma_M$
关联到分子 质量与候选相容，并有同位素、反应物或解离证据 质量与某分子相容；证据充分时再作具体归属

例如，质量增加约 1 u 与形成氢化物相容，但也可能与误装载其他镱同位素混淆。相同质量的异构体不会因为化学结构不同，就自动在世俗频率中产生可辨认的特征。即使已按题设接受“发生了分子形成”，也应保留多个质量相近的分子候选。

2. 对 172Yb⁺，应该列出哪些候选

优先讨论 $^{172}\mathrm{YbH}^{+}$、$^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{O}^{+}$ 和 $^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{OH}^{+}$，分别对应约 1、16、17 u 的质量增量。它们的作用首先是提供可检验的候选质量，而不是预先认定某一种反应一定发生。

YbH⁺ 在镱离子阱中的形成和光解离已有直接研究。Hoang 等研究的是含缓冲气体的 $^{171}\mathrm{Yb}^{+}$ 装置，讨论了暗内部态与氢化物的联系，并观察到光解离；这支持“镱离子变暗可能与分子形成有关”，但不能把该装置的反应速率、激发态布居或光解离效率原样搬到超高真空刀片阱。Hoang 等，PRA 101, 022705 (2020)

对于羟基候选，Parker 等在四极离子阱质谱仪中研究了 Yb⁺ 与水生成 YbOH⁺ 的反应，同时指出反应能量与键能解释存在不确定性。因此，残余水可以成为调查线索，但“有水背景”不能单独证明本装置中已经生成 YbOH⁺。YbO⁺ 也应作为含氧候选接受质量检验，而不能仅由氧相关残余气体峰直接指定。Parker 等，PCCP 23, 11314–11326 (2021)

为避免把同位素平均原子量用于单同位素实验，下面采用 NIST 的中性同位素质量，并对每个单电荷离子减去一个电子质量。化学结合能和电离能带来的质量修正在本文约 0.1 u 的目标精度下可以忽略。NIST：Yb 同位素质量、H 同位素质量、O 同位素质量

候选 离子质量近似值 / u 相对 $^{172}$Yb⁺ 的增量 / u 使用方式
$^{172}\mathrm{Yb}^{+}$ 171.93584 0 无质量改变的对照；可能仍处于暗内部态
$^{172}\mathrm{YbH}^{+}$ 172.94366 1.00783 氢化物候选
$^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{O}^{+}$ 187.93075 15.99491 氧化物候选
$^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{OH}^{+}$ 188.93858 17.00274 氢氧化物候选

如果测得增量接近 18、28、32 或 44 u，可以扩大候选表，但不要把这些整数分别直接等同于“加了水、CO、氧或 CO₂”。是否存在可稳定囚禁的对应产物，需要反应通道和能量条件支持；碎裂、电荷转移或不同元素组合也可能给出相近质量。

3. 为什么暗离子需要一个亮探针

对发光原子离子，可以扫描电激励频率并观察荧光变化。分子离子通常不再与原来的 369/935 nm 冷却闭环共振，直接扫电极并不会凭空产生可见的分子荧光。

最实用的方案是保留或加入一个能持续散射荧光的 $^{172}\mathrm{Yb}^{+}$。两个带电粒子通过库仑力耦合；激发某个集体振动模时，亮离子也参与运动。于是能够从亮离子的荧光调制、光斑展宽或光谱边带中读出暗离子的质量信息。亮离子同时提供共感冷却，但这只保证质心运动可以冷却，并不自动保证分子内部转动、振动状态已被制备。

这种方法已有单分子实验验证：Goeders 等通过共囚禁 Ca⁺ 的分辨边带测出双离子正常模，并据此测量 CaH⁺、CaO⁺ 的质量。这里借用的是读出和建模方法，不是其钙离子的数值参数。Goeders 等，J. Phys. Chem. A 117, 9725–9731 (2013)

3.1 原来只有一个离子，随后完全变暗

此时只有“相机上没有亮点”这条信息，无法直接区分原离子丢失与暗分子仍在。

在尽量保持原 RF/DC 工作点的条件下，尝试受控装载恰好一个亮 Yb⁺ 探针。若暗粒子仍在，经过共感冷却后应形成一亮一暗的双离子晶体；若原粒子已经丢失，通常只剩新装载的一个亮离子。比较亮点相对已标定阱中心的位置、总构型和运动谱，可以区分这两种模型。

在对称、同电荷、纯轴向谐势中，双离子的亮粒子应位于距阱中心约 $d/2$ 的一侧，而单个亮粒子在中心。位置偏移是有用线索，但光压、杂散电场和电极充电也能移动亮点，必须与运动谱交叉验证。没有观察到暗伙伴只能说明本次检测未发现；热暗离子未结晶、装载过程将其排出或额外装载了其他粒子，都可能破坏这次判断。

如果装置无法补充探针、无法做其他电荷探测，也没有针对候选的解离读出，那么“一个完全不发光的单离子”不能只靠现有荧光计数完成阱频测量。后文的反演需要先解决这个读出条件。

3.2 原来是两个亮离子，其中一个变暗

这是最直接的测量对象。剩下的亮离子就是探针，可以在事件前记录双亮晶体的频率，在事件后记录亮—暗晶体的频率。

在理想谐势、同质量、同电荷的双亮晶体中，低频轴向模恰好等于单个 Yb⁺ 的轴向频率 $f_0$。因此变暗前的低频模可以提供紧邻事件的参考。变暗后若形成较重的分子，低频模一般下移；若只是同一个原子离子进入暗内部态，两种轴向模的本征频率应基本不变，但因为少了一个被直接冷却的粒子，阻尼和荧光响应的形状可能变化。

若两个离子都变暗，则需要引入亮探针，并按实际的总粒子数建模，不能自动使用下面的双离子公式。

3.3 原来是多个亮离子，一个或多个变暗

只要仍有亮离子，通常还能进行间接读出。但此时测到的是整条链的集体模，频率同时依赖暗离子的质量、数量和在链中的位置。可以在保留目标的前提下将体系整理成“一亮一暗”，也可以对完整晶体做多模拟合。整理离子链可能丢失目标，所以不宜把未经验证的移除步骤设为每次测量的默认操作。

4. 单离子的频率—质量关系：先建立直觉

4.1 轴向静电束缚：频率与质量平方根成反比

设轴向电势在平衡点附近为

$$ \Phi(z)=\Phi(0)+\frac{1}{2}\kappa_z z^2, \qquad \omega_z^2=\frac{Q\kappa_z}{m}. $$

这里 $\kappa_z$ 是电势曲率，不是力常数；对固定电荷 $Q$，力常数为 $k_z=Q\kappa_z$。在电荷和势阱完全相同的条件下，参考质量为 $m$，待测质量为 $M$：

$$ \frac{f_{z,M}}{f_{z,m}}=\sqrt{\frac{m}{M}}, \qquad M=m\left(\frac{f_{z,m}}{f_{z,M}}\right)^2. $$

如果电荷未知，这个关系测的是 $M/Q$。例如电荷加倍的原子离子不能被当作“质量减半的同电荷离子”作化学归属。

4.2 RF 主导的径向束缚：频率近似与质量成反比

赝势能含有 $Q^2|\mathbf E_{\rm rf}|^2/(4m\Omega_{\rm rf}^2)$，除以质量后，RF 径向频率平方与 $(Q/m)^2$ 成正比。在 DC 去聚焦可以忽略、Mathieu 参数较小且几何不变时，

$$ \frac{f_{r,M}}{f_{r,m}}\simeq\frac{m}{M}. $$

因此约 1 u 的质量增加，在 172 u 附近会使单离子轴向频率降低约 0.29%，RF 主导的径向频率降低约 0.58%。频率下降并不总是服从同一个比例。

实际线性阱还含有径向 DC 去聚焦。若局部 DC 势轴对称，且比较的是单离子在同一工作点的频率，令 $\mu=M/m$，则

$$ f_{r,M}^2\simeq \frac{f_{r,m}^2+f_{z,m}^2/2}{\mu^2} -\frac{f_{z,m}^2}{2\mu}. $$

这里 $f_{r,m}$ 是参考离子的总径向频率。定义 $A=f_{r,m}^2+f_{z,m}^2/2$、$B=f_{z,m}^2/2$ 和 $y=f_{r,M}^2$，正质量根可写为

$$ \mu=\frac{2A}{B+\sqrt{B^2+4Ay}}. $$

补偿四极场造成不对称时，两个径向方向必须分别使用实际曲率。较大的 Mathieu 参数、主轴耦合或高精度要求下，应使用完整 Mathieu/Floquet 模型。尤其不能拿离子链中某个径向峰，直接代入以上单离子公式。

单离子与双离子测量中不同的频率质量关系

图中曲线为理想模型计算。左图每条曲线都相对于其对应的变暗前频率归一化；蓝线表示一个质量固定的亮探针与一个变重的暗离子组成的双离子体系。

5. 核心推导：一个亮离子和一个暗分子的轴向模

这是本文优先推荐的质量测量模型。设亮 Yb⁺ 质量为 $m$，暗粒子质量为 $M$，两者电荷均为 $+e$，在同一个轴向谐势中排成直线；径向足够强，且没有显著的轴向 RF 赝势。令

$$ \mu=\frac{M}{m},\qquad \omega_0^2=\frac{k_z}{m},\qquad C=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}. $$

5.1 第一步：从力平衡确定展开位置

势能为

$$ U=\frac{k_z}{2}(z_1^2+z_2^2)+\frac{C}{|z_2-z_1|}. $$

约定离子 1 是亮探针，离子 2 是暗粒子，且 $z_1<z_2$。对势能求一阶导数，平衡时有

$$ \frac{\partial U}{\partial z_1}=k_z z_1+\frac{C}{(z_2-z_1)^2}=0, \qquad \frac{\partial U}{\partial z_2}=k_z z_2-\frac{C}{(z_2-z_1)^2}=0. $$

两式相加给出 $z_1+z_2=0$。设平衡间距为 $d>0$，于是 $z_1^{(0)}=-d/2$、$z_2^{(0)}=d/2$，满足

$$ \frac{k_zd}{2}=\frac{C}{d^2}, \qquad d^3=\frac{2C}{k_z}. $$

这里没有质量。在同电荷、轴向静电谐势模型下，改变质量不改变平衡间距。 双离子间距可以标定势阱曲率，也可帮助确认暗电荷存在，却不能仅凭“距离变大或变小”推断其分子质量。

前一篇文章用两个已知质量原子的间距反推出轴向频率，与这里并不矛盾：那里质量已经知道；这里要测的恰好是未知质量。径向 RF 赝势具有质量依赖，多维或非线性构型另当别论。

代入本实验参考 $f_0=448.25$ kHz 和 $m\simeq171.93584$ u，先将质量换成 kg，再计算

$$ \omega_0=2\pi f_0,\qquad k_z=m\omega_0^2\simeq2.265\times10^{-12}\ \mathrm{N/m}, \qquad d\simeq5.884\ \mu\mathrm m. $$

所以理想双离子的平衡位置约为阱中心两侧各 2.942 μm。这个间距对同电荷的 Yb⁺—Yb⁺ 与 Yb⁺—YbOH⁺ 都相同；要区分质量，需要继续计算它们在这些平衡点附近怎样运动。

5.2 第二步：把势能展开到二阶，得到刚度矩阵

写成 $z_1=-d/2+u_1$、$z_2=d/2+u_2$，其中 $|u_i|\ll d$。令 $\delta=u_2-u_1$，先展开库仑项：

$$ \frac{C}{d+\delta} =\frac{C}{d}-\frac{C}{d^2}\delta +\frac{C}{d^3}\delta^2 +O\left(\frac{C|\delta|^3}{d^4}\right). $$

静电势中的一次项为 $k_zd(u_2-u_1)/2$，恰好与库仑一次项抵消。这是围绕平衡点展开的结果，而不是可以任意丢弃一次项。保留二阶项，并利用 $C/d^3=k_z/2$：

$$ U^{(2)}=\frac{k_z}{2}(u_1^2+u_2^2) +\frac{C}{d^3}(u_2-u_1)^2 =k_z(u_1^2+u_2^2-u_1u_2). $$

因此可写成

$$ U^{(2)}=\frac12\mathbf u^{\mathsf T}\mathsf K\mathbf u, \qquad \mathbf u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}, \qquad \mathsf K=k_z\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}. $$

$\mathsf K$ 是势能对位移的二阶导数矩阵，也称 Hessian 或刚度矩阵；对角元表示本粒子位移引起的恢复力，非对角元表示另一个粒子位移带来的耦合。这里所有质量依赖仍在动能中：

$$ T=\frac12m\dot u_1^2+\frac12M\dot u_2^2 =\frac12\dot{\mathbf u}^{\mathsf T}\mathsf M\dot{\mathbf u}, \qquad \mathsf M=\begin{pmatrix}m&0\\0&M\end{pmatrix}. $$

5.3 第三步：建立广义本征值方程，解出两个频率

由拉格朗日方程得到 $\mathsf M\ddot{\mathbf u}+\mathsf K\mathbf u=0$，分量形式就是

$$ m\ddot u_1=-2k_z u_1+k_z u_2, $$
$$ M\ddot u_2=k_z u_1-2k_z u_2. $$

一个本征振动模式是所有粒子以同一频率振动，且各粒子的幅度比和相位关系固定。设 $\mathbf u(t)=\operatorname{Re}[\mathbf a e^{i\omega t}]$，则

$$ \mathsf K\mathbf a=\omega^2\mathsf M\mathbf a, \qquad \begin{pmatrix}2k_z-m\omega^2&-k_z\\-k_z&2k_z-M\omega^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\mathbf0. $$

这是广义本征值问题：质量矩阵不为单位阵，不能只对 $\mathsf K$ 求本征值便当成频率平方。要有非零振幅，系数矩阵的行列式必须为零：

$$ (2k_z-m\omega^2)(2k_z-M\omega^2)-k_z^2=0. $$

展开得到

$$ mM\omega^4-2k_z(m+M)\omega^2+3k_z^2=0. $$

引入 $\lambda=\omega^2/\omega_0^2$ 和 $\mu=M/m$，除以 $k_z^2$ 后化为

$$ \mu\lambda^2-2(1+\mu)\lambda+3=0. $$

用二次方程求根公式：

$$ \lambda_\pm=\frac{1+\mu\pm\sqrt{(1+\mu)^2-3\mu}}{\mu} =1+\frac1\mu\pm\sqrt{1-\frac1\mu+\frac1{\mu^2}}. $$

最后 $\omega_\pm=\omega_0\sqrt{\lambda_\pm}$，普通频率 $f_\pm=\omega_\pm/(2\pi)$，因此

$$ f_-^2=f_0^2\left(1+\frac{1}{\mu}-\sqrt{1-\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\mu^2}}\right), $$
$$ f_+^2=f_0^2\left(1+\frac{1}{\mu}+\sqrt{1-\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\mu^2}}\right). $$

低频模 $f_-$ 是同相运动，高频模 $f_+$ 是反相运动。只有等质量时，低频模才是两个离子等幅运动的纯质心模；混合质量时称“低频同相模”更准确。这个双离子模型和利用正常模推断质量的方法也可见 Leibfried 的分子离子控制论文。Leibfried，New J. Phys. 14, 023029 (2012)

令 $\mu=1$，得到一个必要的校准检查：

$$ f_-=f_0,\qquad f_+=\sqrt{3}f_0. $$

如果同种双亮离子不满足这个关系，应先检查峰的指认、激励引入的位移、非谐性和方向耦合，再用它称量暗离子。

5.4 第四步：求本征向量，知道每个离子怎样振动

频率求出后，再代回矩阵方程的第一行：

$$ (2-\lambda_\pm)a_1-a_2=0, \qquad R_\pm\equiv\frac{a_2}{a_1}=2-\lambda_\pm. $$

也就是说，物理位移振型可取 $\mathbf a_\pm\propto(1,R_\pm)^{\mathsf T}$。若希望用单位长度向量画图，可以选

$$ \widehat{\mathbf a}_\pm= \frac{1}{\sqrt{1+R_\pm^2}} \begin{pmatrix}1\\R_\pm\end{pmatrix}. $$

对于任意正质量，低频分支 $0<\lambda_-<3/2$，所以 $R_->0$，两离子同相；高频分支 $\lambda_+>2$，所以 $R_+<0$，两离子反相。整体乘以 $-1$ 只相当于把振动相位移动半个周期，不会产生新模式。模式给出相对幅度，实际绝对振幅还由激励、阻尼和温度决定。

等质量时 $\lambda_-=1$、$\lambda_+=3$，于是

$$ \widehat{\mathbf a}_-=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \widehat{\mathbf a}_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. $$

第一个模不改变离子间距，库仑项不产生额外恢复力，故频率为 $f_0$；第二个模改变间距，库仑排斥使有效恢复力增大，故频率为 $\sqrt3f_0$。

取暗离子为 $^{172}$Yb$^{16}$OH⁺，有 $\mu\simeq1.098890$，计算得到

$$ f_-\simeq437.321\ \mathrm{kHz},\quad R_-\simeq1.04817; \qquad f_+\simeq759.144\ \mathrm{kHz},\quad R_+\simeq-0.86819. $$

因此在低频模中，暗分子与亮离子同向运动，暗分子的位移幅度约大 4.82%；高频模中二者反向运动，暗分子幅度约为亮离子的 86.82%。较重的粒子不一定在每个模中都振得更小，应由本征向量计算。

双离子轴向本征振型及相对位移

图中上排为等质量对照，下排为 Yb⁺—YbOH⁺；箭头表示同一时刻的位移方向和相对大小，每个模单独归一化，不表示平衡间距改变，也不表示两模具有相同能量。

5.5 为什么数值计算要使用质量加权坐标

直接算 $\mathsf M^{-1}\mathsf K$ 也能得到正确本征值，但它在不同质量时一般不是对称矩阵。更方便且数值稳定的方法是定义 $\mathbf q=\mathsf M^{1/2}\mathbf u$，得到

$$ \ddot{\mathbf q}+\mathsf D\mathbf q=0, \qquad \mathsf D=\mathsf M^{-1/2}\mathsf K\mathsf M^{-1/2} =\omega_0^2\begin{pmatrix}2&-1/\sqrt\mu\\-1/\sqrt\mu&2/\mu\end{pmatrix}. $$

对称矩阵 $\mathsf D$ 可以用 numpy.linalg.eigh 求解。它返回的单位本征向量 $\mathbf b_j$ 满足

$$ \mathsf D\mathbf b_j=\omega_j^2\mathbf b_j, \qquad \mathbf b_i^{\mathsf T}\mathbf b_j=\delta_{ij}. $$

但 $\mathbf b_j$ 是质量加权坐标中的振型。转换回真实位移必须再乘 $\mathsf M^{-1/2}$：

$$ \mathbf a_j=\mathsf M^{-1/2}\mathbf b_j, \qquad \mathbf a_i^{\mathsf T}\mathsf M\mathbf a_j=\delta_{ij}. $$

这里采用质量归一化，因而与上一小节画图用的普通单位长度归一化相差一个整体倍数；两者的物理位移比相同。混合质量的两个物理位移向量一般不满足普通点积正交，而满足质量加权正交。这是把程序结果转换为“哪个离子振动多大”时最容易漏掉的一步。

若外场对两离子的力组成 $\mathbf F(t)$，将 $\mathbf q=\sum_j\mathbf b_j Q_j$ 代入受驱动方程，可得每个模的广义驱动力：

$$ \ddot Q_j+\omega_j^2Q_j=\mathbf b_j^{\mathsf T}\mathsf M^{-1/2}\mathbf F(t). $$

亮离子的位移读出系数则为 $b_{1j}/\sqrt m$。因此一个峰是否可见，同时取决于驱动力投影与亮离子的参与程度。均匀轴向电场对两粒子的力都为 $eE(t)$；等质量反相模的投影正好抵消，所以即使它的本征频率客观存在，也不一定能被这种驱动激发。

5.6 只测低频模也能反演质量

定义

$$ \lambda=\left(\frac{f_-}{f_0}\right)^2. $$

特征方程变成 $\mu\lambda^2-2(1+\mu)\lambda+3=0$。整理后得到

$$ \boxed{M=m\frac{3-2\lambda}{\lambda(2-\lambda)}}. $$

这就是“一亮一暗、同电荷、轴向谐势”情况下最方便的质量反演公式。对比探针更重的暗离子，低频分支有 $0<\lambda\leq1$。如果测到 $f_->f_0$，在模型成立的前提下指向更轻的粒子；但必须先排除模式指认和阱漂移问题。

当 $M=m+\Delta m$ 且 $|\Delta m|\ll m$ 时，展开得到

$$ \frac{f_--f_0}{f_0}\simeq-\frac{\Delta m}{4m}. $$

这个系数是 $1/4$，而单离子轴向是 $1/2$。因此把双离子低频模误当成暗离子的单粒子轴向频率，会明显低估质量增量。

5.7 同时测到两个模时怎样交叉验证

两根频率满足

$$ f_+^2+f_-^2=2f_0^2\left(1+\frac{1}{\mu}\right), \qquad f_+^2f_-^2=\frac{3f_0^4}{\mu}. $$

因此还可以使用

$$ M=\frac{2mf_0^2}{f_+^2+f_-^2-2f_0^2}. $$

但“频率平方和给出正质量”不是充分条件：反演出的质量还应同时预测两个实测模，或满足上面的乘积关系。实际分析建议对 $f_-$、$f_+$ 联合拟合，把 $f_0$ 的校准误差作为共同的不确定因素。

只用 $f_+/f_-$ 确实能够消去公共势阱尺度，但结果存在 $\mu$ 与 $1/\mu$ 的互换歧义，而且接近等质量时，这个比值对小质量变化只有二阶灵敏度。它适合作为一致性检查，不适合在没有参考频率的情况下，强行区分 Yb⁺ 和仅重约 1 u 的 YbH⁺。

6. 对你们的 172Yb⁺，预期频移有多大

采用实验室提供的单离子轴向参考频率 $f_0\simeq448.25$ kHz。计算时暂以 448.250 kHz 作为中心值，并另取一个理想 RF 主导、忽略 DC 去聚焦的单离子径向参考频率 1000.000 kHz；后者不是实验室已提供的参数。用第 2 节的同位素质量计算：

暗粒子候选 假想单离子轴向 / kHz 假想单离子 RF 径向 / kHz 一亮一暗轴向 $f_-$ / kHz 一亮一暗轴向 $f_+$ / kHz
$^{172}\mathrm{Yb}^{+}$ 448.250 1000.000 448.250 776.392
$^{172}\mathrm{YbH}^{+}$ 446.942 994.173 447.594 775.262
$^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{O}^{+}$ 428.750 914.889 437.959 760.067
$^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{OH}^{+}$ 427.605 910.009 437.321 759.144

前两列只说明单离子模型的质量依赖，不表示可以直接观察一个完全不发光的孤立分子。实际用亮探针读出时，应对照后两列。所有数字都是模型预测，显示到 1 Hz 仅为了方便比较，不代表实验已经达到 1 Hz 精度。实验室尚未提供 448.25 kHz 的测量不确定度、漂移和具体模指认，正式质量测量时必须补充这些信息。

氢化物与原子离子、氧化物与氢氧化物的双离子共振间隔

在这个例子中：

  • Yb⁺ 与 YbH⁺ 的双离子低频模相差约 656.4 Hz；
  • YbO⁺ 与 YbOH⁺ 的双离子低频模相差约 638.6 Hz；
  • 相比未反应的双 Yb⁺ 低频模，YbO⁺ 和 YbOH⁺ 分别下移约 10.291 kHz 和 10.929 kHz。

固定质量比时，两个轴向模及其频差都与 $f_0$ 成正比。更换工作点后，表中的轴向预测值可乘以 $f_0/(448.25\ \mathrm{kHz})$；径向列不能这样缩放。能否区分相邻候选，仍须结合峰中心重复性、阻尼修正和势阱漂移判断。

7. 实验步骤：从变暗事件到可用于反演的频率

7.1 事先建立参考

在正常工作点记录一个亮 Yb⁺ 的 $f_0$；条件允许时再记录两个亮 Yb⁺ 的 $f_-$ 和 $f_+$。保存 RF 频率及幅度监测值、DC 电压、补偿电压、离子位置、激光失谐和功率。参考应尽量靠近变暗事件的时间，尤其要控制装载时原子炉加热、介质充电和电源缓慢漂移。

对于双亮或多亮晶体，事件前后的光子计数、图像和短时运动谱都值得保留。多离子事件前的最低模只有在相应模型下才能用作 $f_0$；不要把“最低的那个峰”一概当成单离子参考。

7.2 事件发生后先保存构型

记录哪个位置变暗、剩下几个亮点、链是否重排以及原冷却设置。随后按第 3 节决定保留现有亮探针，还是补装一个探针。若已无法确定总粒子数，应先比较不同粒子数的构型模型；把两个暗粒子误当作一个较重暗粒子，是严重的质量归属错误。

尽量先完成低幅度质量测量，再进行可能改变候选的强光解离或强电激励。针对已知原子暗态的回泵检查可以作为辅助对照，但应记录光照条件及先后顺序，以免恢复荧光后失去原始质量信息。

7.3 激励轴向运动，读出亮离子

向能产生轴向交变电场的端帽、分段或辅助电极叠加小信号。必须检查传输链路的带宽和电极处幅度；同相驱动两个完全对称端帽可能主要改变曲率，而不是提供所需的位移驱动力。选定接线后先用已知亮离子验证响应。

对本表中的近质量候选，可围绕 $f_0$ 下方数个百分点到 $f_0$ 附近扫描低频模。以 448.25 kHz 参考值为例，可先试 435–451 kHz，再在约 437.3、438.0、447.6 或 448.25 kHz 附近细扫；如需第二个模，可在约 755–780 kHz 范围寻找。这些只是针对本候选集合的起始范围，不是未知离子的通用搜索范围。粗扫步长必须足以覆盖预计峰宽，窄峰可能被过大的步长跳过。

读出方式有三种：

装置现有能力 可用信号 实际注意点
普通相机或慢光子计数 激励期间亮离子光斑展宽、积分荧光变化 相机曝光跨越很多周期，通常看不到实时质心振荡；光斑宽度需扣除成像点扩散和漂移
PMT/APD 与光子时间标记 与驱动同步的荧光振幅、相位；脉冲后的振铃或相关谱 冷却光要沿轴向有投影，时间分辨率和计数率要支持目标频段
窄线光谱或 Raman 操控 亮离子载波两侧的正常模边带 测的是共享模；$^{172}$Yb⁺ 没有 $^{171}$Yb⁺ 的基态超精细双态，不能直接照搬其微波方案

激励期间同步读出，或者激励结束后立即记录再冷却瞬态。等离子已经完全冷却后再计数，运动信号可能消失。每个频点完成读出后，再等待体系恢复到相同冷却基线，才开始下一个频点。荧光变化的符号取决于失谐、功率和读出方式，不必一定是一个向下的谷。

7.4 怎样提高近质量候选的分辨能力

接近等质量时，均匀电场主要激励低频同相模；高频反相模在等质量极限下与均匀驱动力解耦，少量质量差只提供很弱的耦合。因此看不到高频峰不意味着暗离子不存在，也不值得单纯用很大的电压强行“找出来”。需要第二个模时，可以改变空间驱动分布，或用只作用于亮离子的光学激励、边带谱。

低频峰找到后，缩小范围并用约 20–50 Hz 的步进作为精扫起点，重复正反向或打乱顺序扫描，交错测量无驱动基线。步进只是采样设置，最终精度由信噪比、线形、漂移和模型决定。对约 640–660 Hz 的候选频差，目标应是把频率比对应的总质量标准不确定度压到约 0.1–0.15 u，而不是仅把信号源显示位数调得足够多。

若只有宽而浅的积分荧光响应，可以采用低幅度驱动的同步相位检测或光子相关谱。Sheridan 和 Keller 已在刀片式线性阱上利用脉冲激励及荧光相关分析进行质量测量；其结果支持这条实验路线，但论文中的精度不等于本装置自动可达的精度。Sheridan 与 Keller，New J. Phys. 13, 123002 (2011)

7.5 参数激励适合放在什么位置

参数调制常在两倍正常模频率附近产生强响应，也可能通过模间耦合出现和频等共振。在一个冷的双离子晶体里，它仍然驱动集体模；把某个参数峰除以二后，不能直接套孤立分子的 $1/M$ 公式。

此外，强参数激励可能导致熔化、非线性频移或选择性排出粒子。用于未知暗分子的首轮称量时，弱位移激励通常更便于保持原构型；参数激励更适合作为已建立模型后的辅助验证，而不是仅凭一个“突然消失的峰”完成分子指认。

8. 线形、误差和一组完整演算

8.1 先判断拟合量是不是本征频率

弱驱动下，一个孤立正常模的响应可用受驱动阻尼振子的形式表示：

$$ \chi_j(\omega)\propto \frac{1}{\omega_j^2-\omega^2-i\gamma_j\omega}. $$

相机展宽、平均荧光和相位锁定信号并不是同一个函数，不能不加判断地共用一个峰形。多模接近时，应同时拟合多个响应及背景。

按照这个阻尼约定，位移幅度的峰位为 $\sqrt{\omega_j^2-\gamma_j^2/2}$，脉冲后自由振铃频率为 $\sqrt{\omega_j^2-\gamma_j^2/4}$；它们与用于质量公式的无阻尼本征频率 $\omega_j$ 并非严格相同。目标达到几十 Hz 时，应检验冷却功率和失谐的变化是否移动拟合中心，必要时直接拟合动力学响应或外推到弱扰动极限。

8.2 误差怎么传到质量

对于 $M=m g(\lambda)$，其中

$$ g(\lambda)=\frac{3-2\lambda}{\lambda(2-\lambda)}, $$

误差传播可以写为

$$ \sigma_M\simeq m|g^{\prime}(\lambda)|\sigma_\lambda, $$
$$ \sigma_\lambda^2=4\lambda^2\left[ \frac{\sigma_-^2}{f_-^2}+\frac{\sigma_0^2}{f_0^2} -\frac{2\operatorname{Cov}(f_-,f_0)}{f_-f_0} \right]. $$

这包含频率参考与待测值之间的相关性。接近等质量时，简化为

$$ \sigma_M\simeq4m\sigma_{f_-/f_0}. $$

若 $f_0\simeq448.25$ kHz，在等质量附近定义等效频率误差 $\sigma_{\rm eq}=f_0\sigma_{f_-/f_0}$，则约 65 Hz 对应约 0.10 u 的质量标准不确定度。这是参考与待测频率合成后的误差，不是只要求某一次拟合误差小于 65 Hz。若参考漂移达到约 650 Hz，就可能与氢化物的整个频移相当；仅有“轴向频率大约为 448.25 kHz”的记录还不足以完成精密称量。

误差预算至少应包括：重复拟合与光子噪声、参考势阱漂移、驱动导致的非谐频移、冷却阻尼造成的中心偏移、残余轴向 RF 曲率，以及错误构型或模式指认。统计误差、慢漂移和模型误差应分别评估；同一效应不能重复计入。

8.3 数值例子：与 YbOH⁺ 质量相容的一次模拟测量

假设已经确认是一个亮 $^{172}$Yb⁺ 加一个单电荷暗离子，得到下列假设读数：

$$ f_0=448.250\pm0.040\ \mathrm{kHz}, \qquad f_-=437.315\pm0.050\ \mathrm{kHz}. $$

把两个误差当作独立的一倍标准差，代入低频模公式得到

$$ M=188.947\pm0.100\ \mathrm{u} \quad\text{（这里只计统计和参考读数误差）}. $$

其中 40 Hz 和 50 Hz 是为演示误差传播而假设的标准不确定度，并非实验室已经报告的精度。模型同时预测 $f_+\simeq759.136$ kHz。若另测到 $f_+=759.141\pm0.080$ kHz，则与该预测一致；频率平方和公式给出的质量约为 188.943 u。两个结果共用了部分数据，不能把它们当成完全独立的证据再重复缩小误差条。

该质量与 $^{172}\mathrm{Yb}^{16}\mathrm{OH}^{+}$ 的约 188.93858 u 相容；在理想模型及上述误差范围内，它与约 187.93075 u 的 YbO⁺ 相差约 10 个统计标准差。实际报告还需要加入前述系统误差，不能直接照抄这个“10 倍”判断。

若错误使用单离子轴向公式 $M=m(f_0/f_-)^2$，同一组数据会给出约 180.6 u，导致完全不同的候选判断。这说明模型选择比增加小数位更重要。

9. 多离子情况：把全链作为耦合振子拟合

9.1 从 N 粒子势能构造本征值问题

对于 $N$ 个同电荷离子，整个推导与双离子相同，只是位移向量从 2 维变成 $N$ 维。先写出

$$ U(\mathbf z)=\frac{k_z}{2}\sum_{i=1}^N z_i^2 +\sum_{i\lt j}\frac{C}{|z_i-z_j|}. $$

平衡位置 $z_i^{(0)}$ 由以下 $N$ 个耦合方程确定：

$$ k_z z_i^{(0)}-\sum_{j\ne i} \frac{C(z_i^{(0)}-z_j^{(0)})}{|z_i^{(0)}-z_j^{(0)}|^3}=0. $$

可先引入长度单位 $\ell=(C/k_z)^{1/3}$、无量纲位置 $x_i=z_i^{(0)}/\ell$，将其化为

$$ x_i-\sum_{j\ne i}\frac{x_i-x_j}{|x_i-x_j|^3}=0. $$

这个方程不含质量和具体阱频，可在约束 $x_1<x_2<\cdots<x_N$ 下数值求根，再检查所有粒子的剩余力。不能把相机中只有亮离子的坐标当作全链位置；暗位点也必须包含在平衡模型中。

在平衡点写 $z_i=z_i^{(0)}+u_i$。对任意一对粒子，二阶库仑项为 $C(u_i-u_j)^2/d_{ij}^3$，其中 $d_{ij}=|z_i^{(0)}-z_j^{(0)}|$。展开后，它向两个对角元各贡献 $2C/d_{ij}^3$，向两个交叉元各贡献 $-2C/d_{ij}^3$，于是

$$ K_{ii}=k_z+\sum_{j\ne i}\frac{2C}{d_{ij}^3}, \qquad K_{ij}=-\frac{2C}{d_{ij}^3}\quad(i\ne j). $$

将各粒子质量组成对角矩阵 $\mathsf M$，质量归一化动力学矩阵为

$$ \mathsf D=\mathsf M^{-1/2}\mathsf K\mathsf M^{-1/2}. $$

$\mathsf D$ 的本征值是 $\omega_j^2$，普通频率为 $\sqrt{\omega_j^2}/(2\pi)$。与双离子一样，数值本征向量 $\mathbf b_j$ 要换算为 $a_{ij}=b_{ij}/\sqrt{m_i}$，才能解释真实位移。若任一本征值为负，则该构型在相应方向不稳定；完整线性链还需要检查径向稳定性，不能仅凭轴向本征值为正就确认它稳定。

计算时还可把频率也无量纲化。令 $\mu_i=m_i/m$，其中 $m$ 为亮探针参考质量，定义 $\mathsf A=\mathsf K/k_z$，则

$$ A_{ii}=1+\sum_{j\ne i}\frac{2}{|x_i-x_j|^3}, \qquad A_{ij}=-\frac{2}{|x_i-x_j|^3}, \qquad \widetilde D_{ij}=\frac{A_{ij}}{\sqrt{\mu_i\mu_j}}. $$

对 $\widetilde{\mathsf D}$ 求本征值得到 $\lambda_j$ 后，直接用 $f_j=f_0\sqrt{\lambda_j}$。这避免在数值程序里同时操作极小的 kg 质量和很大的角频率，并且明确了实验参考频率如何进入计算。

当所有质量相等时，$\mathsf K$ 每一行的和都是 $k_z$，所以 $(1,1,\ldots,1)^{\mathsf T}$ 必为本征向量，对应 $f_0$；库仑力只依赖相对位置，不改变整条链等幅平移的恢复力。质量混合后，右侧 $\omega^2\mathsf M\mathbf a$ 的各分量不再相同，这个纯质心模一般不再是本征模。这也解释了为什么“全亮链的最低轴向模可作参考”，但“混合链的最低峰就是单离子阱频”通常不成立。

真正有三维耦合时，应使用包含各离子实际赝势能的完整 $3N\times3N$ Hessian；赝势不充分时再升级到时周期动力学模型。

9.2 三离子的完整算例：同一个分子在中央还是链端

三粒子的平衡位置可直接解出。设为 $(-s,0,s)$，右端粒子的力平衡为

$$ k_zs=\frac{C}{s^2}+\frac{C}{(2s)^2}, \qquad s^3=\frac{5C}{4k_z}. $$

相邻距离为 $s$，两端距离为 $2s$。代入 Hessian 得到

$$ \mathsf A=\frac{\mathsf K}{k_z} =\frac15\begin{pmatrix}14&-8&-1\\-8&21&-8\\-1&-8&14\end{pmatrix}. $$

全为 $^{172}$Yb⁺ 时 $\widetilde{\mathsf D}=\mathsf A$。逐个把向量代入，可直接验证三个本征对：

$$ \lambda_1=1,\quad \mathbf a_1\propto(1,1,1)^{\mathsf T}; \qquad \lambda_2=3,\quad \mathbf a_2\propto(1,0,-1)^{\mathsf T}; $$
$$ \lambda_3=\frac{29}{5},\quad \mathbf a_3\propto(1,-2,1)^{\mathsf T}. $$

对应频率分别为 $f_0$、$\sqrt3f_0$、$\sqrt{29/5}f_0$。若中央粒子变为质量 $M=\mu m$ 的分子，平衡位置与 $\mathsf A$ 不变，但质量加权矩阵变成

$$ \widetilde{\mathsf D}=\frac15 \begin{pmatrix} 14&-8/\sqrt\mu&-1\\ -8/\sqrt\mu&21/\mu&-8/\sqrt\mu\\ -1&-8/\sqrt\mu&14 \end{pmatrix}. $$

由于镜面对称，$(1,0,-1)^{\mathsf T}$ 仍是本征向量，且本征值仍为 3：这个模中中央粒子根本不动，改变它的质量不会移动该模。这是一个重要反例，某个模频率没变，并不能排除分子形成。

其余两模属于两端同相的对称子空间。对真实位移取 $\mathbf a=(A,B,A)^{\mathsf T}$，代回 $\mathsf A\mathbf a=\lambda\operatorname{diag}(1,\mu,1)\mathbf a$：

$$ (13-5\lambda)A-8B=0, \qquad -16A+(21-5\mu\lambda)B=0. $$

故频率和位移比由

$$ (13-5\lambda)(21-5\mu\lambda)-128=0, \qquad 5\mu\lambda^2-(13\mu+21)\lambda+29=0, $$
$$ \lambda=\frac{13\mu+21\pm\sqrt{(13\mu+21)^2-580\mu}}{10\mu}, \qquad \frac BA=\frac{13-5\lambda}{8} $$

给出。若 $\mu=1$，这两根退化为 1 与 $29/5$；若中央是 YbOH⁺，低频模位移比约为 $(1,1.02020,1)$，最高频模约为 $(1,-1.78398,1)$。

采用 $f_0=448.25$ kHz，参考频率表为：

三离子构型（从左到右） 第一轴向模 / kHz 第二轴向模 / kHz 第三轴向模 / kHz
Yb⁺—Yb⁺—Yb⁺ 448.250 776.392 1079.529
Yb⁺—YbOH⁺—Yb⁺ 440.946 776.392 1046.869
YbOH⁺—Yb⁺—Yb⁺ 440.846 758.479 1071.835

表内 Yb 均指 $^{172}$Yb，O 指 $^{16}$O；这些是理想模型的本征频率，未保证每个峰都可见。中央与链端的最低模仅差约 100 Hz，但第二、第三模差别明显，说明多模联合拟合对位置指认很重要。镜面对称的左右链端仍具有相同频谱。

9.3 可直接复算的数值步骤与拟合

附件脚本提供 chain_modes 函数，用上述无量纲平衡位置构造矩阵并调用 eigh，还会检查输入位置是否满足力平衡。例如，在脚本所在目录运行：

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import numpy as np
from dark_ion_mass import REFERENCE_U, CANDIDATES, chain_modes

s = (5 / 4) ** (1 / 3)  # 位置单位 ell=(C/k_z)^(1/3)
masses = np.array([REFERENCE_U, CANDIDATES['172Yb16OH+'], REFERENCE_U])
frequency, b = chain_modes(masses, [-s, 0, s], f0_hz=448250)
a = b / np.sqrt(masses / REFERENCE_U)[:, None]  # 列是物理位移振型
a = a / a[0, :]  # 仅对本例可行：每个模的第一个分量均不为零
print(frequency / 1000)  # kHz，约 [440.946, 776.392, 1046.869]
print(a)  # 每列第一分量定为 1，比较同一列各离子的幅度与相位

这里用相对质量转换只省去了所有分量共有的 $1/\sqrt m$，不影响位移比。对任意更长离子链，应先求相应的平衡位置，不能继续使用三粒子的 $(-s,0,s)$。函数要求 NumPy；求更大体系的平衡位置可以另用数值求根器。每个本征向量的整体符号不唯一，代码和其他软件相差一个负号并不表示物理结论不同。

实际拟合可按以下顺序实施：

  1. 从事件前图像和变暗后的构型约束总粒子数、暗粒子数及可能位置，必要时保留多个假设；
  2. 对每种质量与构型计算正常模，同时计算驱动场与模的耦合、亮离子的探测投影；
  3. 对可观测的多个峰联合拟合，并纳入参考校准的共同漂移；
  4. 检验同一个质量方案能否解释不同弱驱动强度、重复测量和小幅改变 DC 束缚后的频率。

可使用的目标函数为

$$ \chi^2=(\mathbf f_{\rm obs}-\mathbf f_{\rm model})^{\mathsf T} \mathsf C_f^{-1} (\mathbf f_{\rm obs}-\mathbf f_{\rm model}), $$

其中 $\mathsf C_f$ 是频率误差的协方差矩阵，而非只含单点拟合误差的对角表。

同一质量的暗离子位于链中央或链端，可能产生不同的可见运动谱；镜面对称位置也可能产生相同频率，不能强行区分。少量可见峰还可能被“一个较重暗离子”和“多个稍轻暗离子”等不同模型同时解释。因此，多离子的一个最低频峰一般不够唯一称量，更不能简单等同于平均质量。关于利用亮离子的空间展宽和集体共振测量暗组分，可参阅 Rajagopal 等的实验。Rajagopal 等，Trapped Ion Chain Thermometry and Mass Spectrometry through Imaging

10. 从质量归属到分子归属，还差哪些证据

测到一个与 188.94 u 相符的单电荷暗粒子，是很有价值的结果，但最稳妥的表述是“与 $^{172}$YbOH⁺ 的质量相容”。进一步的鉴别可以来自：

同位素来源。 如果原粒子确定来自纯 $^{172}$Yb⁺ 且没有重新装载污染，候选范围会显著缩小。反之，$^{172}$YbH⁺ 与 $^{173}$Yb⁺ 的质量仅相差约 0.006 u；约 0.1 u 的称量不足以把二者分开。含氧候选也应考虑少量 $^{17}$O、$^{18}$O 同位素造成的邻近质量。这里的限制是分辨率，不是两者精确质量完全相同。

残余气体和事件统计。 同步记录 RGA 的相关峰、总压、原子炉状态和变暗时间，检查事件率与背景变化是否相关。RGA 峰可能是碎片，同一个名义质量不一定代表一种气体；例如 28 附近不能仅凭一个峰区分 CO 与 N₂。相关性帮助排序候选，不能代替单粒子的质量结果，也不必为了首轮判断主动引入气体。

解离前后的质量与荧光闭环。 在合适且已有依据的光解离条件下，若暗粒子恢复成可冷却的原子离子，并且运动谱返回双 Yb⁺ 基准，就同时支持“原来存在分子”和“其产物含 Yb⁺”。不同分子可能共享解离通道，恢复荧光本身仍不是唯一结构指纹；光照不恢复也不能直接排除某分子。需要把实际波长、功率、照射时间和事件概率一起记录。

进一步的分子谱。 若研究目标是确定结构、同分异构体或内部态，应结合转动、振动或电子光谱等信息。已有光学质量测量工作把暗离子先称量、再用于分子研究，体现的正是这两个阶段的分工。Fan 等，PRL 126, 023002 (2021)

11. 面向当前装置的实施建议与记录模板

对你们使用的 $^{172}$Yb⁺，可先把“双亮离子中一个变暗”的事件作为第一批验证样本：事件前的低频轴向模提供参考，事件后的一个亮点负责读出，粒子数和初始同位素也最容易追踪。建立这条流程后，再把它扩展到单离子变暗后的探针装载，以及多离子链的正常模拟合。

建议为每次事件保留以下记录：

数据组 必需内容
事件与构型 时间、事件前粒子数、事件后亮点数、图像、是否补装载、是否重排
势阱与参考 RF 频率与幅度监测、全部 DC/补偿电压、参考 $f_0$、参考时间和重复性
激励与读出 电极及信号传输、驱动幅度、频率、持续时间、冷却光参数、读出时间窗
原始信号 各频点原始光子数、光子时间标记或图像，未作拟合的原始扫描
反演 使用单离子/双离子/多离子模型、模式指认、质量、统计误差、系统误差
归属 电荷态假设、允许的同位素、未排除的候选、是否做过回泵或解离对照

一个合适的结果句式是：

在假定暗粒子带单电荷、且与一个 $^{172}$Yb⁺ 探针组成轴向双离子晶体的条件下，由低频正常模及参考频率得到质量 $M$。第二个模与模型相容。在评估的总不确定度内，结果与某候选相容，并排除所列的其他候选；分子结构归属仍需指定的补充证据。

附：可复算的质量反演脚本

下载 dark_ion_mass.py。默认参考质量为上述 $^{172}$Yb⁺ 质量，默认 $f_0=448250$ Hz，所有输入频率单位为 Hz。命令行质量反演适用于一个亮探针加一个单电荷暗粒子的轴向谐势模型，不会自动判断化学式；另提供 axial_displacements 和 chain_modes 函数，用于双离子物理振型和多离子本征模计算。

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python dark_ion_mass.py --f0-hz 448250 --lower-hz 437315 --upper-hz 759141 --sigma-lower-hz 50 --sigma0-hz 40

输出低频模推断质量、独立读数假设下的标准不确定度、预测高频模及其残差。若两个频率误差相关，或包含额外系统漂移，应在正式分析中使用协方差传播或联合拟合，不能直接使用脚本的简化误差条。

运行 python dark_ion_mass.py --self-check 可核验解析频率与独立的质量归一化 Hessian、物理振型的广义本征方程、两个质量反演公式、双离子和三离子的等质量极限、中央暗粒子不参与的三离子模，以及线性误差传播与随机抽样的一致性；该校验需要 NumPy。基本双离子反演只依赖 Python 标准库，生成本文配图还需要 NumPy 与 Matplotlib。

配图也使用命令行指定的轴向参考值，可执行 python dark_ion_mass.py --f0-hz 448250 --figures figures 重新生成三张图。更换参考频率后，应一起更新正文数值表、扫描范围和误差预算。

参考文献

  1. T. M. Hoang, Y.-Y. Jau, R. Overstreet, P. D. D. Schwindt, “YbH⁺ formation in an ytterbium ion trap”, Physical Review A 101, 022705 (2020). DOI
  2. M. L. Parker, J. Jian, J. K. Gibson, “Bond dissociation energies of low-valent lanthanide hydroxides: lower limits from ion-molecule reactions and comparisons with fluorides”, PCCP 23, 11314–11326 (2021). DOI
  3. D. Leibfried, “Quantum state preparation and control of single molecular ions”, New Journal of Physics 14, 023029 (2012). NIST 全文
  4. J. E. Goeders 等, “Identifying single molecular ions by resolved sideband measurements”, Journal of Physical Chemistry A 117, 9725–9731 (2013). DOI
  5. K. Sheridan, M. Keller, “Weighing of trapped ion crystals and its applications”, New Journal of Physics 13, 123002 (2011). arXiv
  6. V. Rajagopal, J. P. Marler, M. G. Kokish, B. C. Odom, “Trapped Ion Chain Thermometry and Mass Spectrometry through Imaging”. 作者预印本
  7. M. Fan 等, “Optical Mass Spectrometry of Cold RaOH⁺ and RaOCH₃⁺”, Physical Review Letters 126, 023002 (2021). arXiv
  8. NIST, Atomic Weights and Isotopic Compositions. Yb、H、O